e pede o campo (conjunto) de convergência dessa série. Informações relevantes dadas:
A série é centrada em 1 porque aparece (x-1)^n.
O termo geral é \dfrac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}.
Precisamos achar todos os x (reais, a menos que se queira o caso complexo) para os quais a série converge.
Passo 2
Observação importante (reconhecimento de padrão): a série pode ser vista como uma série geométrica em função de n. Reescrevo o termo geral isolando uma potência:
Quando a gente reconhece uma série dessa forma, estamos diante de uma série geométrica com razão r=\dfrac{-(x-1)}{4}.
Passo 3
Lembrete teórico (o que é e quando converge uma série geométrica):
A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso o somatório vale \dfrac{1}{1-r}.
Se a série geométrica começa em n=1, isto é \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, ela também converge exatamente sob a mesma condição |r|<1 e seu valor é \dfrac{r}{1-r}.
Explicando a razão: |r|<1 é a condição para as potências r^n irem a zero; sem isso os termos não vão a zero e a série não converge.
Passo 4
Aplicando a condição de convergência geométrica ao nosso r=\dfrac{-(x-1)}{4}:
A condição é \left|\dfrac{-(x-1)}{4}\right|<1.
Como o valor absoluto elimina o sinal negativo, isso é equivalente a
\left|\dfrac{x-1}{4}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por 4 (positivo, então não inverte desigualdade), obtemos
|x-1|<4.
Isto nos dá o intervalo central de convergência: todos os x tais que a distância de x até 1 é menor que 4.
Passo 5
Interpretação geométrica e raio:
A série é uma série de potências centrada em 1 com raio de convergência R=4.
Em termos de intervalo na reta real, a condição |x-1|<4 corresponde ao intervalo aberto
(-3,\,5),
pois 1-4=-3 e 1+4=5.
Por enquanto sabemos que a série converge para todo x em (-3,5). Agora precisamos verificar os pontos extremos x=-3 e x=5, porque a condição |x-1|<4 não informa sobre os endpoints.
A série torna-se \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}. Essa sequência de termos não tende a zero (os termos alternam entre -1 e 1), e uma condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero. Portanto a série diverge em x=5.
(Observação rápida: mesmo a série alternada \sum (-1)^n não converge porque os termos não tendem a zero; a soma parcial oscila entre valores.)
A série torna-se \sum_{n=1}^{\infty}1, cujos termos não só não tendem a zero, como são sempre 1; portanto diverge (soma dos termos tende a infinito).
Conclusão: a série diverge em x=-3.
Passo 8
Conclusão do raciocínio:
A série converge para todo x com |x-1|<4 (isto é, para x\in(-3,5)).
Nos endpoints x=-3 e x=5 a série diverge.
Portanto o campo de convergência (intervalo de convergência real) é o intervalo aberto (-3,5).
Passo 9
Comentário extra (útil na prova): além de afirmar onde converge, às vezes pedem a soma fechada quando converge. Como é série geométrica com razão r=\dfrac{-(x-1)}{4} e começa em n=1, quando |x-1|<4 a soma vale