Encontre o campo de convergência da seguinte série:
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}
e pede o campo (conjunto) de convergência dessa série. Informações relevantes dadas:
  • A série é centrada em 1 porque aparece (x-1)^n.
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}.
  • Precisamos achar todos os x (reais, a menos que se queira o caso complexo) para os quais a série converge.

Passo 2

Observação importante (reconhecimento de padrão): a série pode ser vista como uma série geométrica em função de n. Reescrevo o termo geral isolando uma potência:
\frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}=\left(\frac{-(x-1)}{4}\right)^{n}.
Ou seja, a série é
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-(x-1)}{4}\right)^{n}.
Quando a gente reconhece uma série dessa forma, estamos diante de uma série geométrica com razão r=\dfrac{-(x-1)}{4}.

Passo 3

Lembrete teórico (o que é e quando converge uma série geométrica):
  • A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso o somatório vale \dfrac{1}{1-r}.
  • Se a série geométrica começa em n=1, isto é \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, ela também converge exatamente sob a mesma condição |r|<1 e seu valor é \dfrac{r}{1-r}.
    Explicando a razão: |r|<1 é a condição para as potências r^n irem a zero; sem isso os termos não vão a zero e a série não converge.

Passo 4

Aplicando a condição de convergência geométrica ao nosso r=\dfrac{-(x-1)}{4}:
  • A condição é \left|\dfrac{-(x-1)}{4}\right|<1.
  • Como o valor absoluto elimina o sinal negativo, isso é equivalente a
\left|\dfrac{x-1}{4}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por 4 (positivo, então não inverte desigualdade), obtemos
|x-1|<4.
Isto nos dá o intervalo central de convergência: todos os x tais que a distância de x até 1 é menor que 4.

Passo 5

Interpretação geométrica e raio:
  • A série é uma série de potências centrada em 1 com raio de convergência R=4.
  • Em termos de intervalo na reta real, a condição |x-1|<4 corresponde ao intervalo aberto
(-3,\,5),
pois 1-4=-3 e 1+4=5.
Por enquanto sabemos que a série converge para todo x em (-3,5). Agora precisamos verificar os pontos extremos x=-3 e x=5, porque a condição |x-1|<4 não informa sobre os endpoints.

Passo 6

Testo o endpoint x=5:
  • Substituo x=5 no termo geral:
\frac{(-1)^{n}(5-1)^{n}}{4^{n}}=\frac{(-1)^{n}\,4^{n}}{4^{n}}=(-1)^{n}.
  • A série torna-se \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}. Essa sequência de termos não tende a zero (os termos alternam entre -1 e 1), e uma condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero. Portanto a série diverge em x=5.
  • (Observação rápida: mesmo a série alternada \sum (-1)^n não converge porque os termos não tendem a zero; a soma parcial oscila entre valores.)

Passo 7

Testo o endpoint x=-3:
  • Substituo x=-3 no termo geral:
\frac{(-1)^{n}(-3-1)^{n}}{4^{n}}=\frac{(-1)^{n}(-4)^{n}}{4^{n}}.
  • Note que (-4)^{n}=(-1)^{n}4^{n}. Assim o termo geral fica
\frac{(-1)^{n}\cdot (-1)^{n}4^{n}}{4^{n}} = \frac{((-1)^{n})^{2}4^{n}}{4^{n}} = 1.
  • A série torna-se \sum_{n=1}^{\infty}1, cujos termos não só não tendem a zero, como são sempre 1; portanto diverge (soma dos termos tende a infinito).
  • Conclusão: a série diverge em x=-3.

Passo 8

Conclusão do raciocínio:
  • A série converge para todo x com |x-1|<4 (isto é, para x\in(-3,5)).
  • Nos endpoints x=-3 e x=5 a série diverge.
  • Portanto o campo de convergência (intervalo de convergência real) é o intervalo aberto (-3,5).

Passo 9

Comentário extra (útil na prova): além de afirmar onde converge, às vezes pedem a soma fechada quando converge. Como é série geométrica com razão r=\dfrac{-(x-1)}{4} e começa em n=1, quando |x-1|<4 a soma vale
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-(x-1)}{4}\right)^{n}=\frac{\dfrac{-(x-1)}{4}}{1-\dfrac{-(x-1)}{4}}=\frac{-(x-1)}{4+(x-1)}=\frac{-(x-1)}{x+3}.
Isso só é válido dentro do intervalo de convergência que encontramos.

Resposta

(-3,5)

Exercícios relacionados