Calcule a integral indefinida:
∫e2x⋅cos2(e2x−1)dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\cdot \cos^{2}\big(e^{2x}-1\big)\,dx.
Informações dadas e observações úteis: temos um produto em x com a função trigonométrica \cos^{2} aplicada à expressão e^{2x}-1. A expressão e^{2x}-1 aparece dentro da função trigonométrica — isso sugere usar uma substituição que elimine essa parte “interna”. Não vamos resolver nada ainda; só identificamos o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{2x}-1.
Explico por quê: a substituição u é a parte “interior” do \cos^{2}. Se conseguirmos expressar dx em função de du, transformamos a integral para algo em u mais simples. Agora calcule du. Diferenciando em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\big(e^{2x}-1\big)=2e^{2x}.
Isto significa que
du = 2e^{2x}\,dx.
Isolando e^{2x}\,dx (que aparece na integral original), obtemos
e^{2x}\,dx = \frac{du}{2}.
Aqui u é uma nova variável que vale u=e^{2x}-1 e du é seu diferencial.

Passo 3

Substituímos na integral original usando u e du. A integral
\int e^{2x}\cdot \cos^{2}\big(e^{2x}-1\big)\,dx
fica, ao substituir e^{2x}\,dx=\dfrac{du}{2} e \cos^{2}(e^{2x}-1)=\cos^{2}(u),
\int e^{2x}\cdot \cos^{2}\big(e^{2x}-1\big)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos^{2}(u)\,du.
Agora temos uma integral em u com \cos^{2}(u), que é padrão e resolvível com uma identidade trigonométrica.

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo para transformar \cos^{2}. A identidade é derivada de \cos(2u)=2\cos^{2}(u)-1; isolando \cos^{2}(u) vem
\cos^{2}(u)=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Explico: isso é útil porque integrar \cos(2u) é simples (é uma função trigonométrica básica) e integrar a constante 1 também é trivial. Substituindo essa identidade em nossa integral:

Passo 5

Substituindo, temos
\frac{1}{2}\int \cos^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1+\cos(2u)}{2}\,du = \frac{1}{4}\int \big(1+\cos(2u)\big)\,du.
Agora integramos termo a termo. Para \int 1\,du temos u. Para \int \cos(2u)\,du usamos a regra geral \int \cos(a u)\,du = \frac{1}{a}\sin(a u)+C (esta regra vem da derivada de \sin(au), que é a\cos(au)). Aplicando com a=2:
\int \cos(2u)\,du = \frac{1}{2}\sin(2u).
Portanto
\frac{1}{4}\int \big(1+\cos(2u)\big)\,du = \frac{1}{4}\left(u + \frac{1}{2}\sin(2u)\right) + C = \frac{1}{4}u + \frac{1}{8}\sin(2u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original x lembrando que u=e^{2x}-1. Substituindo:
\frac{1}{4}u + \frac{1}{8}\sin(2u) + C = \frac{1}{4}\big(e^{2x}-1\big) + \frac{1}{8}\sin\big(2(e^{2x}-1)\big) + C.
Podemos absorver a constante -\tfrac{1}{4} em C, então uma forma simplificada da primitiva é
\frac{1}{4}e^{2x} + \frac{1}{8}\sin\big(2(e^{2x}-1)\big) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}e^{2x}+\frac{1}{8}\sin\big(2(e^{2x}-1)\big)+C

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