Calcule a integral indefinida:
∫e2x⋅cos2(e2x−1)dx
∫e2x⋅cos2(e2x−1)dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações úteis: temos um produto em
com a função trigonométrica
aplicada à expressão
. A expressão
aparece dentro da função trigonométrica — isso sugere usar uma substituição que elimine essa parte “interna”. Não vamos resolver nada ainda; só identificamos o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Escolhemos a substituição
Explico por quê: a substituição
é a parte “interior” do
. Se conseguirmos expressar
em função de
, transformamos a integral para algo em
mais simples. Agora calcule
. Diferenciando em relação a
:
Isto significa que
Isolando
(que aparece na integral original), obtemos
Aqui
é uma nova variável que vale
e
é seu diferencial.
Passo 3
Substituímos na integral original usando
e
. A integral
fica, ao substituir
e
,
Agora temos uma integral em
com
, que é padrão e resolvível com uma identidade trigonométrica.
Passo 4
Usamos a identidade de ângulo duplo para transformar
. A identidade é derivada de
; isolando
vem
Explico: isso é útil porque integrar
é simples (é uma função trigonométrica básica) e integrar a constante
também é trivial. Substituindo essa identidade em nossa integral:
Passo 5
Substituindo, temos
Agora integramos termo a termo. Para
temos
. Para
usamos a regra geral
(esta regra vem da derivada de
, que é
). Aplicando com
:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
lembrando que
. Substituindo:
Podemos absorver a constante
em
, então uma forma simplificada da primitiva é