Calcule a integral indefinida:
∫sen3(1−2θ)cos3(1−2θ)dθ
∫sen3(1−2θ)cos3(1−2θ)dθ
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função em termos de
, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Vou transformar o integrando usando identidades trigonométricas para deixar a integral mais simples. Primeiro observo que
Essa escritura é só reescrever
como um cubo do produto
. Isso ajuda porque existe uma identidade simples para
em termos de
.
Passo 3
Usando a identidade
, temos
Logo
Aplicando isso com
, o integrando vira
Passo 4
Agora uso uma identidade para potência ímpar de seno. A identidade útil é
Explicando rapidamente de onde vem: a identidade
(obtida por soma de ângulos) é equivalente a esta ao resolver para
.
Passo 5
Aplique a identidade com
. Assim
Lembrando o fator
do Passo 3, o integrando total é
Passo 6
Agora integro termo a termo. Vou usar a fórmula básica
que vem da regra de cadeia: derivada de
é
, daí o fator
.
Passo 7
Integro cada termo dentro do parêntese:
porque aqui
(ou, visto de outra forma, a integral de
é
).
E
E
pois a integral de
é
e há o sinal negativo à frente.
Passo 8
Reunindo e multiplicando pelo fator
que puxamos fora, a primitiva é
Agora simplifico os coeficientes:
Portanto a antiderivada fica
Passo 9
Recapitulando: transformei o produto de potências em uma potência de seno duplo, usei a identidade para
, integrei termo a termo usando a regra de cadeia e simplifiquei os coeficientes. Se quiser, dá para verificar derivando essa expressão e conferindo que volta ao integrando original.