Calcule a integral indefinida:
∫sen3(1−2θ)cos3(1−2θ)dθ

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3}\!\bigl(1-2\theta\bigr)\cos^{3}\!\bigl(1-2\theta\bigr)\,d\theta.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando}=\operatorname{sen}^{3}\bigl(1-2\theta\bigr)\cos^{3}\bigl(1-2\theta\bigr).
A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função em termos de \theta, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Vou transformar o integrando usando identidades trigonométricas para deixar a integral mais simples. Primeiro observo que
\operatorname{sen}^{3}x\cos^{3}x = \bigl(\operatorname{sen} x\cos x\bigr)^{3}.
Essa escritura é só reescrever \operatorname{sen}^{3}x\cos^{3}x como um cubo do produto \operatorname{sen} x\cos x. Isso ajuda porque existe uma identidade simples para \operatorname{sen} x\cos x em termos de \operatorname{sen} 2x.

Passo 3

Usando a identidade \operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x, temos
\operatorname{sen} x\cos x = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen} 2x.
Logo
\bigl(\operatorname{sen} x\cos x\bigr)^{3} = \Bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{sen} 2x\Bigr)^{3} = \tfrac{1}{8}\operatorname{sen}^{3}2x.
Aplicando isso com x=1-2\theta, o integrando vira
\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(1-2\theta\bigr)\cos^{3}\!\bigl(1-2\theta\bigr) = \tfrac{1}{8}\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(2(1-2\theta)\bigr).

Passo 4

Agora uso uma identidade para potência ímpar de seno. A identidade útil é
\operatorname{sen}^{3}t = \frac{3\operatorname{sen} t - \operatorname{sen} 3t}{4}.
Explicando rapidamente de onde vem: a identidade \operatorname{sen} 3t = 3\operatorname{sen} t - 4\operatorname{sen}^{3}t (obtida por soma de ângulos) é equivalente a esta ao resolver para \operatorname{sen}^{3}t.

Passo 5

Aplique a identidade com t=2(1-2\theta)=2-4\theta. Assim
\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(2-4\theta\bigr) = \frac{3\operatorname{sen}(2-4\theta) - \operatorname{sen}(3(2-4\theta))}{4} = \frac{3\operatorname{sen}(2-4\theta) - \operatorname{sen}(6-12\theta)}{4}.
Lembrando o fator \tfrac{1}{8} do Passo 3, o integrando total é
\tfrac{1}{8}\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(2-4\theta\bigr) = \frac{1}{32}\bigl(3\operatorname{sen}(2-4\theta) - \operatorname{sen}(6-12\theta)\bigr).

Passo 6

Agora integro termo a termo. Vou usar a fórmula básica
\int \operatorname{sen}(a\theta+b)\,d\theta = -\frac{1}{a}\cos(a\theta+b)+C,
que vem da regra de cadeia: derivada de \cos(a\theta+b) é -a\operatorname{sen}(a\theta+b), daí o fator -1/a.

Passo 7

Integro cada termo dentro do parêntese:
\int 3\operatorname{sen}(2-4\theta)\,d\theta = 3\cdot\frac{1}{4}\cos(2-4\theta) = \frac{3}{4}\cos(2-4\theta),
porque aqui a=-4 (ou, visto de outra forma, a integral de \operatorname{sen}(2-4\theta) é \tfrac{1}{4}\cos(2-4\theta)).
E
\int -\operatorname{sen}(6-12\theta)\,d\theta = -\frac{1}{12}\cos(6-12\theta),
pois a integral de \operatorname{sen}(6-12\theta) é \tfrac{1}{12}\cos(6-12\theta) e há o sinal negativo à frente.

Passo 8

Reunindo e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{32} que puxamos fora, a primitiva é
\frac{1}{32}\left(\frac{3}{4}\cos(2-4\theta) - \frac{1}{12}\cos(6-12\theta)\right) + C.
Agora simplifico os coeficientes:
\frac{1}{32}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{128},\qquad \frac{1}{32}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{384}.
Portanto a antiderivada fica
\frac{3}{128}\cos(2-4\theta)-\frac{1}{384}\cos(6-12\theta)+C.

Passo 9

Recapitulando: transformei o produto de potências em uma potência de seno duplo, usei a identidade para \operatorname{sen}^{3}, integrei termo a termo usando a regra de cadeia e simplifiquei os coeficientes. Se quiser, dá para verificar derivando essa expressão e conferindo que volta ao integrando original.

Resposta

\frac{3}{128}\cos(2-4\theta)-\frac{1}{384}\cos(6-12\theta)+C

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