Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função integranda e pede a integral indefinida. Informações claras:
- Função a integrar:
. - Pedido: calcular
.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para separar a soma dentro da integral. A propriedade usada é: se
e
são funções, então
Aplicando aqui:
Passo 3
Vamos resolver a integral
. Observação útil: a derivada de
é
. Isso sugere a substituição
Explicando as variáveis:
é a nova variável dependente de
. Calcula-se
:
Reescrevendo
em termos de
obtemos
Agora substituímos na integral:
A integral de
em relação a
é
, então
Voltando à variável
(fazendo
):
Passo 4
Agora calculamos a segunda integral
. Escrevendo
e usando a regra de potência para antiderivadas (para
com
,
):
Reescrevendo:
Passo 5
Somando os resultados das duas integrais (e juntando as constantes
e
numa única constante
), obtemos a antiderivada completa:
Fazendo uma checagem rápida por derivação (regra da cadeia e derivada de
):
-
-
Somando dá exatamente, então a antiderivada está correta.