Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=\frac{e^{1 / x}+2}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função integranda e pede a integral indefinida. Informações claras:
  • Função a integrar: \displaystyle f(x)=\frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}.
  • Pedido: calcular \displaystyle \int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para separar a soma dentro da integral. A propriedade usada é: se g e h são funções, então
\int (g(x)+h(x))\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx=\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx+\int \frac{2}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Vamos resolver a integral \displaystyle \int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx. Observação útil: a derivada de \displaystyle \frac{1}{x} é -\frac{1}{x^{2}}. Isso sugere a substituição
u=\frac{1}{x}.
Explicando as variáveis: u é a nova variável dependente de x. Calcula-se du:
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Reescrevendo \frac{dx}{x^{2}} em termos de du obtemos
\frac{dx}{x^{2}} = -du.
Agora substituímos na integral:
\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,\frac{dx}{x^{2}} = \int e^{u}\,(-du) = -\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}, então
-\int e^{u}\,du = -e^{u}+C_1.
Voltando à variável x (fazendo u=\tfrac{1}{x}):
\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = -e^{1/x}+C_1.

Passo 4

Agora calculamos a segunda integral \displaystyle \int \frac{2}{x^{2}}\,dx. Escrevendo x^{-2} e usando a regra de potência para antiderivadas (para x^{n} com n\neq -1, \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C):
\int \frac{2}{x^{2}}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+C_2 = -2x^{-1}+C_2.
Reescrevendo:
\int \frac{2}{x^{2}}\,dx = -\frac{2}{x}+C_2.

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a antiderivada completa:
\int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx = -e^{1/x} - \frac{2}{x} + C.
Fazendo uma checagem rápida por derivação (regra da cadeia e derivada de x^{-1}):
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\big(-e^{1/x}\big) = -e^{1/x}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = -e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{2}{x}\right) = -2\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{2}{x^{2}}.
    Somando dá exatamente \displaystyle \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}, então a antiderivada está correta.

Resposta

-e^{1/x}-\dfrac{2}{x}+C

Exercícios relacionados