Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida da função
Informações dadas e objetivo:
- A variável de integração é
. - Quer-se achar uma primitiva (integral indefinida)
. - Deve-se apresentar a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Ideia útil: procurar uma substituição que transforme a integral numa forma conhecida. Aqui note que o denominador contém
e o numerador contém
. Se fizermos a substituição
então veremos se o diferencial
aparece naturalmente. Vou explicar a técnica da substituição de forma bem simples: se
e
, podemos trocar a variável
por
na integral, desde que reescrevamos
em termos de
.
Passo 3
Calcular
a partir de
:
Isso é ótimo: o numerador
da integral corresponde exatamente a
. Agora reescrevemos o denominador em termos de
:
Portanto a integral original fica, após substituir:
Passo 4
Conhecimento básico de primitivas: a primitiva de
é a função
, porque a derivada da função arco-tangente é
Isso é um fato padrão (pode ser lembrado ou memorizado). Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Aqui
continua sendo a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): aplicar a regra da cadeia à primitiva encontrada. Derivando
em relação a
:
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.