Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=\frac{e^{x}}{e^{2 x}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida da função
f(x)=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}.
Informações dadas e objetivo:
  • A variável de integração é x.
  • Quer-se achar uma primitiva (integral indefinida) \displaystyle\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx.
  • Deve-se apresentar a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Ideia útil: procurar uma substituição que transforme a integral numa forma conhecida. Aqui note que o denominador contém e^{2x} e o numerador contém e^{x}. Se fizermos a substituição
u=e^{x},
então veremos se o diferencial du aparece naturalmente. Vou explicar a técnica da substituição de forma bem simples: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, podemos trocar a variável x por u na integral, desde que reescrevamos dx em termos de du.

Passo 3

Calcular du a partir de u=e^{x}:
du = e^{x}\,dx.
Isso é ótimo: o numerador e^{x}\,dx da integral corresponde exatamente a du. Agora reescrevemos o denominador em termos de u:
e^{2x} = (e^{x})^{2} = u^{2}.
Portanto a integral original fica, após substituir:
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.

Passo 4

Conhecimento básico de primitivas: a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é a função \arctan(u), porque a derivada da função arco-tangente é
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr) = \frac{1}{1+u^{2}}.
Isso é um fato padrão (pode ser lembrado ou memorizado). Assim,
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=e^{x}:
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx = \arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.
Aqui C continua sendo a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): aplicar a regra da cadeia à primitiva encontrada. Derivando \arctan(e^{x}) em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(e^{x})\bigr) = \frac{1}{1+(e^{x})^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(e^{x}) = \frac{1}{1+e^{2x}}\cdot e^{x} = \frac{e^{x}}{e^{2x}+1},
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C

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