Questão 5: Considere o campo
. Seja
o triângulo de vértices
e
, orientado positivamente. E seja D a região dentro do triângulo
. A integral de linha
é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) NDA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) NDA
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - A curva
é o triângulo de vértices , orientado positivamente (sentido anti-horário). -
é a região interior ao triângulo .
O que se pede: avaliar a integral de linha fechada
e identificar qual das alternativas dadas (a)–(g) corresponde ao valor dessa integral (cada alternativa é um duplo integral sobre
).
Passo 2
Vamos transformar a integral de linha fechada num duplo integral sobre
usando a fórmula que relaciona circulação e derivadas parciais. A fórmula diz o seguinte (enunciada sem demonstração aqui, mas com explicação intuitiva):
onde
e
são as componentes do campo, isto é
.
Explicação prática e significado:
Explicação prática e significado:
- A integral de linha fechada
mede a “circulação” de ao redor de . - O lado direito envolve as derivadas parciais
e ; a diferença é a versão bidimensional do “rotacional” (curl) do campo. - “Orientado positivamente” (anti-horário) é a orientação correta para aplicar a fórmula sem mudar o sinal.
Escolhi este método porque a integral é fechada e o uso da relação acima simplifica muito: evita parametrizar e calcular cada aresta do triângulo separadamente.
Passo 3
Identificar
e
a partir de
:
Agora calculo as derivadas parciais (explicando como fazê-las):
-
: ao derivar em relação a , trata-se de uma multiplicação onde é constante (pois derivamos em relação a ). Assim
-
: ao derivar em relação a , é constante, logo
(Observação didática: ao derivar algo como
em relação a
, a função
é tratada como constante; análogo para
.)
Passo 4
Aplico a fórmula do passo 2 substituindo as derivadas obtidas:
Portanto a integral de linha equivale exatamente ao duplo integral com integrando
.
Para deixar explícito o domínio
e como seria o cálculo explícito, descrevo os limites: a reta entre
e
tem equação
Logo uma descrição conveniente de
é
e a integral em ordem
seria
Isto confirma que a alternativa correta entre as opções dadas é a que tem o integrando
.
Um pequeno exemplo paralelo para fixar a ideia: se
então
,
, então a diferença é
e a integral de linha sobre
seria
. Isso ilustra por que a fórmula é prática — transforma circulação em algo local (a diferença de derivadas) integrado sobre a área.
Passo 5
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide com o resultado encontrado é a alternativa (b):
Resposta
(b)