Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede-se a integral indefinida da função \displaystyle f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr), isto é, calcular
\int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
  • Não há outras condições; queremos uma antiderivada geral (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método e explicação da ferramenta usada (aqui: integração por partes).
  • Uma boa estratégia para integrar logaritmos é usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integranda, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv.
  • Para \displaystyle \int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx uma escolha natural é tomar
u=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr),\qquad dv=dx,
porque a derivada de u simplifica (aparece um fator racional) e dv=dx tem primitiva simples v=x. Esta escolha costuma facilitar o cálculo.

Passo 3

Calcular du e v.
  • Derivando u: como u=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr), usa-se a regra da cadeia. A derivada de \ln(t) é 1/t e a derivada de t=x^{2}+1 é 2x. Assim
du=\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
  • Integrando dv=dx obtemos
v=x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes.
  • Substituindo em \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
\int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
  • Simplificando o integrando do segundo termo:
x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}.
Portanto
\int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Simplificar a integral restante transformando a fração em termos mais fáceis.
  • Faça a divisão algébrica simples:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}.
  • Assim
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int \Bigl(1 - \frac{1}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
  • As primitivas conhecidas são \int 1\,dx = x e \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x), porque a derivada de \arctan(x) é \dfrac{1}{1+x^{2}}. Portanto
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = x - \arctan(x).

Passo 6

Montar a expressão final e simplificar.
  • Voltando para a expressão do Passo 4:
\int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2\bigl(x - \arctan(x)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.
  • Expandindo:
\int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C.

Resposta

\int \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C

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