Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede-se a integral indefinida da função
, isto é, calcular
- Não há outras condições; queremos uma antiderivada geral (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método e explicação da ferramenta usada (aqui: integração por partes).
- Uma boa estratégia para integrar logaritmos é usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é:
onde
e
são partes escolhidas da integranda,
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
.
- Para
uma escolha natural é tomar
porque a derivada de
simplifica (aparece um fator racional) e
tem primitiva simples
. Esta escolha costuma facilitar o cálculo.
Passo 3
Calcular
e
.
- Derivando
: como , usa-se a regra da cadeia. A derivada de é e a derivada de é . Assim
- Integrando
obtemos
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes.
- Substituindo em
obtemos
- Simplificando o integrando do segundo termo:
Portanto
Passo 5
Simplificar a integral restante transformando a fração em termos mais fáceis.
- Faça a divisão algébrica simples:
- Assim
- As primitivas conhecidas são
e , porque a derivada de é . Portanto
Passo 6
Montar a expressão final e simplificar.
- Voltando para a expressão do Passo 4:
onde
é a constante de integração.
- Expandindo: