Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
. Ou seja, encontrar uma primitiva
tal que
.
Informações dadas e observações importantes:
- A função
está definida para . - O que se pede é uma integral indefinida:
. - Deveremos adicionar a constante de integração
no resultado final.
Passo 2
Escolha do método: a técnica mais direta aqui é a integração por partes. Vou relembrar a fórmula da integração por partes e explicar o que cada símbolo significa.
Fórmula da integração por partes:
Explicação:
-
e são funções de . -
é a diferencial de , isto é, . -
é a parte do integrando que escolhemos para integrar; é a primitiva de , isto é, .
A estratégia prática: escolherde forma que fique mais simples, e escolher de modo que seja fácil de obter.
Passo 3
Aplicando integração por partes a
.
Escolhas úteis:
- Tome
. Assim . - Tome
. Assim .
Agora aplico a fórmula
:
Simplificando o integrando:
Passo 4
Calculando
(é uma integral que aparece no passo anterior). Vou usar integração por partes novamente ou lembrar a primitiva conhecida; aqui faço por partes para ficar didático.
Escolhas:
- Tome
. Então . - Tome
. Então .
Aplicando a fórmula:
onde
é uma constante de integração (que pode ser incorporada depois).
Passo 5
Volto à expressão obtida no Passo 3 e substituo o resultado do Passo 4:
A partir de
substituindo
, obtemos
onde
é a constante de integração final (absorvendo
em
).
Breve verificação (checagem rápida): derivando a expressão sem a constante dá de volta
, confirmando que é de fato uma primitiva válida.