Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=\ln ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função f(x)=\ln^{2}(x). Ou seja, encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\ln^{2}(x).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função \ln^{2}(x) está definida para x>0.
  • O que se pede é uma integral indefinida: \displaystyle \int \ln^{2}(x)\,dx.
  • Deveremos adicionar a constante de integração C no resultado final.

Passo 2

Escolha do método: a técnica mais direta aqui é a integração por partes. Vou relembrar a fórmula da integração por partes e explicar o que cada símbolo significa.
Fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicação:
  • u e v são funções de x.
  • du é a diferencial de u, isto é, du = u'(x)\,dx.
  • dv é a parte do integrando que escolhemos para integrar; v é a primitiva de dv, isto é, v=\int dv.
    A estratégia prática: escolher u de forma que du fique mais simples, e escolher dv de modo que v seja fácil de obter.

Passo 3

Aplicando integração por partes a \displaystyle \int \ln^{2}(x)\,dx.
Escolhas úteis:
  • Tome u=\ln^{2}(x). Assim du = 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = \dfrac{2\ln(x)}{x}\,dx.
  • Tome dv = dx. Assim v = x.
Agora aplico a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - \int x\cdot \frac{2\ln(x)}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - 2\int \ln(x)\,dx.

Passo 4

Calculando \displaystyle \int \ln(x)\,dx (é uma integral que aparece no passo anterior). Vou usar integração por partes novamente ou lembrar a primitiva conhecida; aqui faço por partes para ficar didático.
Escolhas:
  • Tome u=\ln(x). Então du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Tome dv=dx. Então v=x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (que pode ser incorporada depois).

Passo 5

Volto à expressão obtida no Passo 3 e substituo o resultado do Passo 4:
A partir de
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - 2\int \ln(x)\,dx,
substituindo \displaystyle \int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C_1, obtemos
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - 2\bigl(x\ln(x) - x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração final (absorvendo -2C_1 em C).
Breve verificação (checagem rápida): derivando a expressão sem a constante dá de volta \ln^{2}(x), confirmando que é de fato uma primitiva válida.

Resposta

x\ln^{2}(x) - 2x\ln(x) + 2x + C

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