Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função f(x)=x\ln(x). Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=x\ln(x)
para x no domínio onde \ln(x) está definida (no caso real: x>0). A resposta deve conter a constante arbitrária de integração C.
Informações dadas:
  • A integranda é x\ln(x).
  • Trabalhamos em x>0 por causa do \ln(x).
  • Queremos uma primitiva F(x) tal que F'(x)=x\ln(x).

Passo 2

Vamos escolher um método: integração por partes. Vou te explicar o que é e por que funciona.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
\big(u(x)v(x)\big)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\int \big(u'v+uv'\big)\,dx = u v + C.
Rearranjando para isolar \int u v'\,dx temos a fórmula de integração por partes:
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx.
Na prática escrevemos isso como
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx.
Dica prática para escolher u e dv: geralmente escolhe-se u como algo que simplifica ao derivar (por exemplo \ln(x) fica 1/x), e dv como algo que é fácil de integrar. Aqui a integranda é x\ln(x), então escolhemos
u=\ln(x),\qquad dv = x\,dx,
porque u simplifica ao derivar e dv é fácil de integrar.

Passo 3

Calcule du e v a partir da escolha:
  • Se u=\ln(x) então
du = u'(x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
  • Se dv=x\,dx então v é uma primitiva de x, ou seja
v=\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Agora temos u=\ln(x), v=\dfrac{x^{2}}{2}, du=\dfrac{1}{x}\,dx, dv=x\,dx.

Passo 4

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int x\ln(x)\,dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo os valores que calculamos:
\int x\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplifique o integrando na segunda parcela:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2}.
Então
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral restante \int \dfrac{x}{2}\,dx. Como \dfrac{1}{2} é constante:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Substituindo de volta:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão e verificar rapidamente fazendo a derivada (checar a conta é uma boa prática na prova). A primitiva obtida é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C.
Derivando termo a termo (produto e potência):
  • Derivada de \dfrac{x^{2}}{2}\ln(x): usar regra do produto. Seja a(x)=\dfrac{x^{2}}{2} e b(x)=\ln(x). (a b)' = a' b + a b' = x\ln(x) + \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x} = x\ln(x) + \frac{x}{2}.
  • Derivada de -\dfrac{x^{2}}{4} é -\dfrac{2x}{4}=-\dfrac{x}{2}.
    Somando:
F'(x)=\big(x\ln(x)+\frac{x}{2}\big) - \frac{x}{2} = x\ln(x),
como desejado. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Observações finais e lembretes práticos:
  • A primitiva encontrada vale para x>0 (domínio de \ln(x) nos reais).
  • Em problemas de prova, quando vir \ln(x) junto com um polinômio, integração por partes com u=\ln(x) costuma ser boa escolha porque a derivada de \ln(x) simplifica.
  • Não esqueça da constante de integração C.

Resposta

\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C

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