Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
para
no domínio onde
está definida (no caso real:
). A resposta deve conter a constante arbitrária de integração
.
Informações dadas:
- A integranda é
. - Trabalhamos em
por causa do . - Queremos uma primitiva
tal que .
Passo 2
Vamos escolher um método: integração por partes. Vou te explicar o que é e por que funciona.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Rearranjando para isolar
temos a fórmula de integração por partes:
Na prática escrevemos isso como
onde
e
.
Dica prática para escolher
e
: geralmente escolhe-se
como algo que simplifica ao derivar (por exemplo
fica
), e
como algo que é fácil de integrar. Aqui a integranda é
, então escolhemos
porque
simplifica ao derivar e
é fácil de integrar.
Passo 3
Calcule
e
a partir da escolha:
- Se
então
- Se
então é uma primitiva de , ou seja
Agora temos
,
,
,
.
Passo 4
Aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplifique o integrando na segunda parcela:
Então
Passo 5
Calcule a integral restante
. Como
é constante:
Substituindo de volta:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão e verificar rapidamente fazendo a derivada (checar a conta é uma boa prática na prova). A primitiva obtida é
Derivando termo a termo (produto e potência):
- Derivada de
: usar regra do produto. Seja e . - Derivada de
é .
Somando:
como desejado. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Observações finais e lembretes práticos:
- A primitiva encontrada vale para
(domínio de nos reais). - Em problemas de prova, quando vir
junto com um polinômio, integração por partes com costuma ser boa escolha porque a derivada de simplifica. - Não esqueça da constante de integração
.