(vale
)
Considere a equação
(a) (
Mostre que
é ponto singular regular desta EDO.
(b)
Determine a equação indicial correspondente a
.
© (2,0 pts) Escreva uma solução correspondente a menor raiz da equação indicial acima, explicitando os 5 primeiros termos.
(d)
Qual o intervalo de convergência das solução dada pelo item anterior?
(b)
© (2,0 pts) Escreva uma solução correspondente a menor raiz da equação indicial acima, explicitando os 5 primeiros termos.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a EDO
2 t^2 y’’ + (t^2 - t) y’ + y = 0, t>0,
verificando que t0=0 é ponto singular regular, encontrando a equação indicial, construindo a solução de Frobenius para a menor raiz e achando o intervalo de convergência. Vamos usar teoria de séries de Frobenius e indicial.
2 t^2 y’’ + (t^2 - t) y’ + y = 0, t>0,
verificando que t0=0 é ponto singular regular, encontrando a equação indicial, construindo a solução de Frobenius para a menor raiz e achando o intervalo de convergência. Vamos usar teoria de séries de Frobenius e indicial.
Passo 2
Para mostrar que t0=0 é ponto singular regular, colocamos a equação na forma padrão
Dividindo por 2t^2 obtemos
$$P(t) = \frac{t^2 - t}{2t^2} = \frac12 - \frac1{2t}, \quad Q(t) = \frac1{2t^2}.
$$
Como tP(t)=t/2 -1/2 e t^2Q(t)=1/2 são analíticos em t=0, concluímos que 0 é ponto singular regular.
Como tP(t)=t/2 -1/2 e t^2Q(t)=1/2 são analíticos em t=0, concluímos que 0 é ponto singular regular.
Passo 3
Para achar a equação indicial, submetemos y=t^r (termos de ordem mínima) na forma original. Calculando y’=r t^{r-1}, y’’=r(r-1)t^{r-2} e coletando o coeficiente de t^r, obtemos
ou seja
cuja raízes são r_1=1 e r_2=1/2.
Passo 4
Como a menor raiz é r=1/2, buscamos uma série de Frobenius
y = \displaystyle \sum_{m=0}^\infty a_m t^{m+1/2}, \quad a_0\neq0.
Substituindo na EDO e igualando coeficientes, achamos a relação de recorrência simples
y = \displaystyle \sum_{m=0}^\infty a_m t^{m+1/2}, \quad a_0\neq0.
Substituindo na EDO e igualando coeficientes, achamos a relação de recorrência simples
que, com a_0=1, leva a
$$a_m = \frac{(-1)m}{2m m!}.
$$
Passo 5
Portanto a solução associada a r=1/2 é
$$y(t) = t{1/2}\sum_{m=0}\infty \frac{(-1)m}{2m m!}t^m = t^{1/2}\Bigl(1 - \tfrac12 t + \tfrac18 t^2 - \tfrac1{48}t^3 + \tfrac1{384}t^4 + \cdots\Bigr).
$$
Passo 6
Como essa série é a expansão de e^{-t/2}, seu raio de convergência é infinito. Logo o intervalo de convergência ao redor de t=0 é 0<t<\infty.
Resposta
(a) t_0=0 é ponto singular regular. (b) Equação indicial: 2r^2 -3r +1=0, raízes r=1 e r=1/2. © Solução para r=1/2 com 5 primeiros termos:
$$y(t)=t^{1/2}\bigl(1 - \tfrac12t + \tfrac18t^2 - \tfrac1{48}t^3 + \tfrac1{384}t^4+\cdots\bigr).
$$
(d) Intervalo de convergência: 0<t<\infty.
(d) Intervalo de convergência: 0<t<\infty.