Determine as partes real u(x, y)=Re f(z) e imaginária v(x, y)=Im f(z) de cada uma das funções f: C C abaixo:
(d) f(z)=z-3 i barzz-i

Passo 1

Neste exercício vamos decompor a função em partes reais e imaginárias usando z=x+iy e bar z=x-iy. O conteúdo é manipular números complexos e racionalizar colocando o denominador em forma real.

Passo 2

Escrevemos o numerador N=z-3ibar z em termos de x e y. Substituindo z=x+iy e bar z=x-iy obtemos:
N=(x+iy)-3i(x-iy)=(x-3y)+i(y-3x)

Passo 3

Escrevemos o denominador D=z-i em termos de x e y:
D=(x+iy)-i=x+i(y-1)

Passo 4

Para dividir N/D, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de D, que é x-i(y-1). O denominador torna-se real:
|D|^2=x^2+(y-1)^2

Passo 5

Calculamos o produto no numerador usando (A+iB)(C-iD)=(AC+BD)+i(BC-AD). Aqui
A= x-3y, ; B=y-3x, ; C=x, ; D=y-1.
O resultado é
Re num=x^2+y^2-6xy+3x-y, Im num=-3x^2+3y^2+x-3y

Passo 6

Dividindo cada parte pelo denominador real x^2+(y-1)^2, chegamos às partes real e imaginária de f(z).

Resposta

As partes real e imaginária de f(z)=z-3ibar zz-i são:
u(x,y)=x^2+y^2-6xy+3x-yx^2+(y-1)^2, v(x,y)=-3x^2+3y^2+x-3yx^2+(y-1)^2

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