Calcule a integral indefinida geral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de $ \sin(x) \cos(x) $ em relação a $ x $. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral indefinida é basicamente encontrar uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. No nosso caso, queremos encontrar uma função $ F(x) $ tal que $ F’(x) = \sin(x) \cos(x) $.
Passo 3
Vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos escolher uma parte da nossa função para substituir por uma nova variável, o que simplifica a integral. Vamos definir:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, que é $ du/dx $:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ u $ e $ du $ na nossa integral original:
Passo 6
A integral de $ u $ em relação a $ u $ é uma integral básica:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos retornar à variável original substituindo $ u $ por $ \sin(x) $:
Passo 8
Então, a integral de $ \sin(x) \cos(x) $ em relação a $ x $ é: