Calcule a integral indefinida geral
integral sen x cos x dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de $ \sin(x) \cos(x) $ em relação a $ x $. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral indefinida é basicamente encontrar uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. No nosso caso, queremos encontrar uma função $ F(x) $ tal que $ F’(x) = \sin(x) \cos(x) $.

Passo 3

Vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos escolher uma parte da nossa função para substituir por uma nova variável, o que simplifica a integral. Vamos definir:
u = sin(x)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, que é $ du/dx $:
u
Isso significa que:
x

Passo 5

Agora, vamos substituir $ u $ e $ du $ na nossa integral original:
u

Passo 6

A integral de $ u $ em relação a $ u $ é uma integral básica:
u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos retornar à variável original substituindo $ u $ por $ \sin(x) $:
u

Passo 8

Então, a integral de $ \sin(x) \cos(x) $ em relação a $ x $ é:
sin(x) cos(x)

Resposta

integral sin(x) cos(x) dx = sin^2(x)2 + C

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