Seja
a solução correspondente à condição inicial
. Para quais valores de
tem-se
finito?
.
Passo 1
O enunciado pede para achar, dado o problema de Cauchy
para quais valores de
o limite
é um número finito. Vamos precisar resolver implicitamente a EDO e depois estudar seu comportamento assintótico.
Passo 2
Começamos reescrevendo a EDO na forma inversa
. Isto transforma o problema em uma EDO linear em
:
O fator integrante é
, de modo que
Integrando em
:
Multiplicando por
obtemos o formato
Passo 3
Impondo a condição inicial
, temos
de onde
Assim, a solução implícita fica
Passo 4
Para estudar
, note que se
permanecesse limitado, o lado esquerdo
iria para
enquanto o lado direito seria finito—contradição. Logo
não pode convergir para um valor finito.
Passo 5
Concluímos que, independentemente de
, a solução sempre diverge (para
se
e para
se
). Portanto não existe nenhum valor de
que torne
finito.
Resposta
Nenhum valor de y_{0} permite que
seja finito.