Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?
y^prime=1t+y.

Passo 1

O enunciado pede para achar, dado o problema de Cauchy
y' = 1t + y, y(0)=y0,
para quais valores de y0 o limite limttoinftyy(t,y0) é um número finito. Vamos precisar resolver implicitamente a EDO e depois estudar seu comportamento assintótico.

Passo 2

Começamos reescrevendo a EDO na forma inversa dt/dy = t + y. Isto transforma o problema em uma EDO linear em t(y):
dtdy - t = y
O fator integrante é e^-y, de modo que
ddyl(t e^-yr) = y e^-y
Integrando em y:
t e^-y = -l(y+1r)e^-y + C
Multiplicando por e^y obtemos o formato
t + y + 1 = C e^y

Passo 3

Impondo a condição inicial y(0)=y0, temos
0 + y0 + 1 = C e^y0
de onde
C = (y0 + 1)e^-y0
Assim, a solução implícita fica
t + y + 1 = (y0 + 1)e^y - y0

Passo 4

Para estudar limttoinftyy(t), note que se y(t) permanecesse limitado, o lado esquerdo t + y + 1 iria para +infty enquanto o lado direito seria finito—contradição. Logo y(t) não pode convergir para um valor finito.

Passo 5

Concluímos que, independentemente de y0, a solução sempre diverge (para +infty se y0>-1 e para -infty se y0<=-1). Portanto não existe nenhum valor de y0 que torne limttoinftyy(t,y0) finito.

Resposta

Nenhum valor de y_{0} permite que limttoinftyy(t,y0) seja finito.

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