Colcule os limiter
$\lim _{(x, y) \rightarrow(-3,1)} \frac{\left(x^{2}+2 x-3\right)\left(y^{2}-1\right)}{x y-x+3 y-3} $

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da função (x^2+2x-3)(y^2-1)xy - x + 3y - 3 quando (x, y) se aproxima de (-3, 1). O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis e um pouco de álgebra pra simplificar a expressão. Vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir (x, y) = (-3, 1) na função:
  • No numerador:
    x^2 + 2x - 3 = (-3)^2 + 2*(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
    y^2 - 1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
    Então, o numerador dá 0 times 0 = 0.
  • No denominador:
    xy - x + 3y - 3 = (-3)(1) - (-3) + 3*(1) - 3 = -3 + 3 + 3 - 3 = 0
    O denominador também dá 0.
Isso resulta em uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para achar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se cancelamos algum termo que está causando o 0:
  • Numerador:
    x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
    y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) (Diferença de quadrados) ç
    Então, o numerador fica (x + 3)(x - 1)(y - 1)(y + 1).
  • Denominador:
    xy - x + 3y - 3 = x(y - 1) + 3(y - 1) = (y - 1)(x + 3)

Passo 4

Agora, substituímos os fatores fatorados na expressão original:
(x + 3)(x - 1)(y - 1)(y + 1)(y - 1)(x + 3)
Perceba que temos (x + 3) e (y - 1) tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esses termos:
cancel(x + 3)(x - 1)cancel(y - 1)(y + 1)cancel(y - 1)cancel(x + 3) = (x - 1)(y + 1)
Agora a expressão ficou bem mais simples: (x - 1)(y + 1).

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo diretamente (x, y) = (-3, 1):
(x - 1) = -3 - 1 = -4
(y + 1) = 1 + 1 = 2
Portanto:
(x - 1)(y + 1) = (-4)(2) = -8

Resposta

O limite é -8.

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