Colcule os limiter
$\lim _{(x, y) \rightarrow(-3,1)} \frac{\left(x^{2}+2 x-3\right)\left(y^{2}-1\right)}{x y-x+3 y-3} $
$\lim _{(x, y) \rightarrow(-3,1)} \frac{\left(x^{2}+2 x-3\right)\left(y^{2}-1\right)}{x y-x+3 y-3} $
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis e um pouco de álgebra pra simplificar a expressão. Vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir
na função:
-
No numerador:Então, o numerador dá
. -
No denominador:O denominador também dá 0.
Isso resulta em uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para achar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se cancelamos algum termo que está causando o 0:
-
Numerador:Então, o numerador fica
. -
Denominador:
Passo 4
Agora, substituímos os fatores fatorados na expressão original:
Perceba que temos
e
tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esses termos:
Agora a expressão ficou bem mais simples:
.
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo diretamente
:
Portanto:
Resposta
O limite é
.