Calcule a integral indefinida geral
integral tg theta sec ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de tan theta sec^2 theta em relação a theta. Isso envolve conhecimentos de funções trigonométricas e técnicas de integração. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas e métodos de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
tan theta = sin thetacos theta
sec theta = 1cos theta
Então, podemos reescrever a integral usando essas definições.

Passo 3

Vamos substituir tan theta e sec theta na integral:
integral tan theta sec^2 theta dtheta = integral ( sin thetacos theta ) ( 1cos theta )^2 dtheta = integral sin thetacos^3 theta dtheta

Passo 4

Agora, percebemos que a integral está na forma integral sin thetacos^3 theta dtheta, o que sugere uma substituição. Vamos definir:
u = cos theta
Então, a derivada de u em relação a theta é:
du = -sin theta dtheta Rightarrow -du = sin theta dtheta

Passo 5

Substituindo na integral:
integral sin thetacos^3 theta dtheta = integral -duu^3 = -integral u^-3 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-3 em relação a u:
-integral u^-3 du = -( u^-2-2 ) + C = 12u^2 + C

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original theta, lembrando que u = cos theta:
12u^2 + C = 12cos^2 theta + C
Podemos também expressar isso usando sec theta, já que sec theta = 1cos theta:
12sec^2 theta + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral tan theta sec^2 theta dtheta = 12sec^2 theta + C

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