Encontre o limite a seguir. Apresentar o rachocinio de forma organizada! Passos diretos nāo serāo pontuados.
lim x +infty x^2(e^1 / x-1) 4 x(x+1)(x-1)=A(x+1)+B(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty x^2(e^1/x-1) 4x(x+1)(x-1)
Vamos usar conteúdos de limites de indeterminações, decomposição em frações parciais e expansão de Taylor para exponencial.

Passo 2

Queremos decompor a parte racional
4x(x+1)(x-1)
em a forma
Ax+1+Bx-1

Passo 3

Igualando numeradores:
A(x-1)+B(x+1)(x+1)(x-1)=(A+B)x+(B-A)(x+1)(x-1)=4x(x+1)(x-1)
Logo
A+B=4,
B-A=0
Portanto A=B=2.

Passo 4

Substituindo, a expressão original vira
x^2(e^1/x-1)l(2x+1+2x-1r)
Podemos então escrever o limite como soma de dois limites:
2limxtoinftyx^2(e^1/x-1)x+1+2limxtoinftyx^2(e^1/x-1)x-1

Passo 5

Para xtoinfty usamos a expansão de Taylor de ordem 2:
e^1/x=1+1x+12x^2+ol(tfrac1x^2r)
Logo
x^2(e^1/x-1)=x+tfrac12+o(1)
e, por exemplo,
x^2(e^1/x-1)x+1=x+1/2+o(1)x(1+1/x)to1
O mesmo vale para o termo com x-1.

Passo 6

Cada um dos limites vale 1, então
o valor total é
2cdot1+2cdot1=4

Resposta

4

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