Calcule a integral indefinida geral
integral x^2 raizx^3+1 dx

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x^2 raizx^3+1 , dx. Esse problema pertence ao tópico de cálculo de integrais, mais especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos escolher uma troca de variável que simplifique a integral e torne a resolução mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando a expressão dentro da raiz, x^3 + 1, vamos definir u = x^3 + 1. Essa substituição facilitará a integral porque simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx. Calculando:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3

Passo 4

Substituindo u e x^2 , dx na integral original, temos:
integral x^2 raizx^3+1 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^1/2 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Portanto:
13 integral u^1/2 , du = 13 cdot u^3/23/2 + C = 29 u^3/2 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
29 u^3/2 + C = 29 (x^3 + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2 raizx^3+1 , dx = 29 (x^3 + 1)^3/2 + C

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