Calcule a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}\,dx.
  • Pede encontrar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida).
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O denominador é o produto de dois polinômios quadráticos \left(x^{2}+1\right) e \left(x^{2}+2\right), ambos sem raízes reais (são irreduzíveis sobre \mathbb{R}).
  • O numerador tem grau 3, que é menor que o grau do denominador ( 4). Logo a fração é própria e podemos usar decomposição em frações parciais do tipo com numeradores lineares para cada quadrático irreduzível.

Passo 2

Escolha do formato da decomposição em frações parciais (explicação didática):
  • Para cada fator quadrático irreduzível x^{2}+a é natural admitir no numerador uma expressão linear Ax+B.
  • Assim assumimos a forma
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}.
Aqui A,B,C,D são constantes reais a determinar. Essa escolha permite escrever o numerador como soma de termos que se ajustam ao denominador comum.

Passo 3

Determinar A,B,C,D\) (procedimento passo a passo): - Multiplicando ambos os lados por \((x^{2}+1)(x^{2}+2)\) obtemos a identidade polinomial \[x^{3}+x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).
  • Expandindo os dois produtos:
(Ax+B)(x^{2}+2)=Ax^{3}+Bx^{2}+2Ax+2B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=Cx^{3}+Dx^{2}+Cx+D.
  • Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D).
  • Igualando coeficientes com x^{3}+x^{2}+2x+1 temos o sistema linear
\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=1,\\[4pt] 2A+C=2,\\[4pt] 2B+D=1. \end{cases}
  • Resolver em ordem: subtraindo a primeira equação da terceira dá A=1\]. Então \(C=1-A=0.
  • Para B e D: subtraindo a segunda da quarta dá B=0. Então D=1-B=1.
  • Logo os coeficientes são
A=1,\quad B=0,\quad C=0,\quad D=1.]

Passo 4

Escrever a decomposição encontrada:
  • Substituindo os coeficientes na forma assumida obtemos
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{1\cdot x+0}{x^{2}+1}+\frac{0\cdot x+1}{x^{2}+2},
ou seja
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+2}.

Passo 5

Integrar o primeiro termo \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx (explicação didática):
  • Fazer a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln\bigl(u\bigr)+C_{1}.
  • Voltando à variável x:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C_{1}.
  • Observação: a fórmula usada foi \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Como x^{2}+1>0 para todo x, podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto extra.

Passo 6

Integrar o segundo termo \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx (explicação didática):
  • Reconhecer a forma padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)+C, onde a>0.
  • Aqui x^{2}+2 = x^{2}+(\sqrt{2})^{2}, então a=\sqrt{2}.
  • Aplicando a fórmula:
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)+C_{2}.
  • (Breve justificativa: a substituição x=a\tan\theta leva à integral de d\theta, que resulta em \arctan.)

Passo 7

Juntar as primitivas parciais e combinar constantes:
  • As primitivas parciais encontradas são \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C_{1} e \tfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)+C_{2}.
  • Somando as duas primitivas e absorvendo C_{1}+C_{2} numa única constante arbitrária C, obtemos a primitiva geral da integral (aqui a soma final aparece apenas na seção de resposta).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)+C

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