Calcule a integral indefinida \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}\,dx.
Pede encontrar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O denominador é o produto de dois polinômios quadráticos \left(x^{2}+1\right) e \left(x^{2}+2\right), ambos sem raízes reais (são irreduzíveis sobre \mathbb{R}).
O numerador tem grau 3, que é menor que o grau do denominador (4). Logo a fração é própria e podemos usar decomposição em frações parciais do tipo com numeradores lineares para cada quadrático irreduzível.
Passo 2
Escolha do formato da decomposição em frações parciais (explicação didática):
Para cada fator quadrático irreduzível x^{2}+a é natural admitir no numerador uma expressão linear Ax+B.
Aqui A,B,C,D são constantes reais a determinar. Essa escolha permite escrever o numerador como soma de termos que se ajustam ao denominador comum.
Passo 3
Determinar A,B,C,D\) (procedimento passo a passo):
- Multiplicando ambos os lados por \((x^{2}+1)(x^{2}+2)\) obtemos a identidade polinomial
\[x^{3}+x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Expandindo os dois produtos:
(Ax+B)(x^{2}+2)=Ax^{3}+Bx^{2}+2Ax+2B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=Cx^{3}+Dx^{2}+Cx+D.
Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D).
Igualando coeficientes com x^{3}+x^{2}+2x+1 temos o sistema linear
(Breve justificativa: a substituição x=a\tan\theta leva à integral de d\theta, que resulta em \arctan.)
Passo 7
Juntar as primitivas parciais e combinar constantes:
As primitivas parciais encontradas são \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C_{1} e \tfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)+C_{2}.
Somando as duas primitivas e absorvendo C_{1}+C_{2} numa única constante arbitrária C, obtemos a primitiva geral da integral (aqui a soma final aparece apenas na seção de resposta).