Calcule a integral definida
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - No intervalo
a função é positiva, portanto está bem definida (sem problema de domínio).
A tarefa é avaliar essa integral definida e apresentar o valor numérico exato.
Passo 2
Vou usar a fórmula de integração por partes. Primeiro relembrar a fórmula e o porquê dela:
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções diferenciáveis,
é a diferencial de
e
é a diferencial de
. A ideia é escolher
de modo que
fique mais simples, e escolher
de modo que possamos integrar
para obter
.
Passo 3
Escolha das funções para aplicar a integração por partes:
- Seja
. Isso porque sua derivada será relativamente simples. - Seja
. Isso porque é fácil integrar .
Agora calculo
e
:
- Derivando
: . Assim
- Integrando
: . Assim
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
No integrando do segundo termo,
cancela:
Passo 5
Integrando
obtemos
. Portanto uma primitiva (antiderivada) é
Posso checar rapidamente: diferenciando
volta-se a
(é uma boa prática, mas não é necessário aqui).
Passo 6
Agora avalio a integral definida usando a primitiva
:
Calculo
:
-
. -
.
Logo
Calculo
:
-
. -
.
Logo
Passo 7
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Portanto a integral definida vale
.