Calcule a integral definida
\int_{\pi / 2}^{\pi / 6} \cos x \ln (\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\pi/2}^{\pi/6} \cos x\,\ln(\operatorname{sen} x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração são x=\pi/2 (limite inferior) e x=\pi/6 (limite superior).
  • No intervalo [\pi/6,\pi/2] a função \operatorname{sen} x é positiva, portanto \ln(\operatorname{sen} x) está bem definida (sem problema de domínio).
    A tarefa é avaliar essa integral definida e apresentar o valor numérico exato.

Passo 2

Vou usar a fórmula de integração por partes. Primeiro relembrar a fórmula e o porquê dela:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, du é a diferencial de u e dv é a diferencial de v. A ideia é escolher u de modo que du fique mais simples, e escolher dv de modo que possamos integrar dv para obter v.

Passo 3

Escolha das funções para aplicar a integração por partes:
  • Seja u(x)=\ln(\operatorname{sen} x). Isso porque sua derivada será relativamente simples.
  • Seja dv=\cos x\,dx. Isso porque é fácil integrar \cos x.
Agora calculo du e v:
  • Derivando u: \dfrac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen} x)=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=\cot x. Assim
du=\cot x\,dx=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx.
  • Integrando dv: \int \cos x\,dx=\operatorname{sen} x. Assim
v=\operatorname{sen} x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \cos x\,\ln(\operatorname{sen} x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \cos x\,\ln(\operatorname{sen} x)\,dx = \operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x) - \int \operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx.
No integrando do segundo termo, \operatorname{sen} x cancela:
\int \cos x\,\ln(\operatorname{sen} x)\,dx = \operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x) - \int \cos x\,dx.

Passo 5

Integrando \int \cos x\,dx obtemos \operatorname{sen} x. Portanto uma primitiva (antiderivada) é
F(x)=\operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x)-\operatorname{sen} x + C.
Posso checar rapidamente: diferenciando F volta-se a \cos x\ln(\operatorname{sen} x) (é uma boa prática, mas não é necessário aqui).

Passo 6

Agora avalio a integral definida usando a primitiva F:
\int_{\pi/2}^{\pi/6} \cos x\,\ln(\operatorname{sen} x)\,dx = F\bigl(\pi/6\bigr)-F\bigl(\pi/2\bigr).
Calculo F(\pi/6):
  • \operatorname{sen}(\pi/6)=\tfrac{1}{2}.
  • \ln\bigl(\operatorname{sen}(\pi/6)\bigr)=\ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln 2.
    Logo
F\bigl(\pi/6\bigr)=\frac{1}{2}\cdot(-\ln 2)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}.
Calculo F(\pi/2):
  • \operatorname{sen}(\pi/2)=1.
  • \ln\bigl(\operatorname{sen}(\pi/2)\bigr)=\ln 1=0.
    Logo
F\bigl(\pi/2\bigr)=1\cdot 0 - 1 = -1.

Passo 7

Subtraindo os valores:
F\bigl(\pi/6\bigr)-F\bigl(\pi/2\bigr)=\left(-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\right)-(-1) =-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}+1.
Simplificando:
-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}=\frac{1-\ln 2}{2}.
Portanto a integral definida vale \dfrac{1-\ln 2}{2}.

Resposta

\dfrac{1-\ln 2}{2}

Exercícios relacionados