Calcule a integral indefinida.
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x} d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x}\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x; o integrando é \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x}. O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Quando vemos uma expressão do tipo \dfrac{\cos x}{(\operatorname{sen} x)^{2}}, é natural tentar a substituição
u=\operatorname{sen} x.
Explicando a técnica de substituição: definimos u como uma função de x. Calculamos a diferencial du para trocar dx e partes da integranda por expressões em u. Isso transforma a integral em uma integral mais simples em u.

Passo 3

Calculemos du. Como u=\operatorname{sen} x, temos
du=\cos x\,dx.
Agora substituímos na integral: a parte \cos x\,dx vira du e (\operatorname{sen} x)^{2} vira u^{2}. Assim
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x}\,dx=\int \frac{du}{u^{2}}.
Observação sobre notação e regras de potência: \operatorname{sen}^{2} x significa (\operatorname{sen} x)^{2}, e \dfrac{1}{u^{2}}=u^{-2}.

Passo 4

Integramos \int u^{-2}\,du usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2. Aplicando a fórmula:
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-u^{-1}+C.
Expliquei cada passo: somamos 1 ao expoente e dividimos por esse novo expoente; o resultado é -u^{-1}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=\operatorname{sen} x, obtemos
-u^{-1}+C=-\frac{1}{\operatorname{sen} x}+C.
Também podemos escrever isso usando a função cosecante: \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Assim a primitiva é -\csc x + C.
Verificação rápida (derivação da primitiva para checar): a derivada de -\csc x é
\frac{d}{dx}(-\csc x)=-\bigl(-\csc x\cot x\bigr)=\csc x\cot x=\frac{1}{\operatorname{sen} x}\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x},
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Você conseguiu! A técnica principal foi perceber que \cos x\,dx é a diferencial de \operatorname{sen} x e usar a substituição para transformar a integral numa potência simples. Se quiser, posso mostrar a mesma integral resolvida usando identidades trigonométricas alternativas, mas essa é a forma mais direta.

Resposta

-\csc x + C

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