Calcule a integral indefinida.
.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
Informações dadas: a variável de integração é
; o integrando é
. O objetivo é encontrar uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha do método): a derivada de
é
. Quando vemos uma expressão do tipo
, é natural tentar a substituição
Explicando a técnica de substituição: definimos
como uma função de
. Calculamos a diferencial
para trocar
e partes da integranda por expressões em
. Isso transforma a integral em uma integral mais simples em
.
Passo 3
Calculemos
. Como
, temos
Agora substituímos na integral: a parte
vira
e
vira
. Assim
Observação sobre notação e regras de potência:
significa
, e
.
Passo 4
Integramos
usando a regra da potência: para
,
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Expliquei cada passo: somamos
ao expoente e dividimos por esse novo expoente; o resultado é
.
Passo 5
Voltando à variável original
com
, obtemos
Também podemos escrever isso usando a função cosecante:
. Assim a primitiva é
.
Verificação rápida (derivação da primitiva para checar): a derivada de é
Verificação rápida (derivação da primitiva para checar): a derivada de
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 6
Você conseguiu! A técnica principal foi perceber que
é a diferencial de
e usar a substituição para transformar a integral numa potência simples. Se quiser, posso mostrar a mesma integral resolvida usando identidades trigonométricas alternativas, mas essa é a forma mais direta.