Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - Trata-se de uma integral definida, então vamos encontrar uma antiderivada e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): a derivada de
em relação a
é
. Pela regra da cadeia, se
, então
Invertendo essa relação, uma primitiva (antiderivada) de
é
quando
é constante. No caso de
com
constante, a antiderivada é
. Vou mostrar isso por substituição para deixar claro.
Passo 3
Fazer a substituição
. Então
A integral fica (trocando os limites correspondentes abaixo):
Sabemos que
. Portanto uma antiderivada em
é
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida: evaluate
em
e
e subtrair.
Calculamos os argumentos:
Calculamos os argumentos:
Sabemos que
e
. Então
Passo 5
Conclusão e dica para a prova: toda vez que você tiver
ou
com
constante, lembre que a antiderivada de
é
e a de
é
. Isso evita cálculos desnecessários. Aqui o fator
veio justamente por essa constante de escala.