Calcule a integral
\int_{0}^{1} \cos (\pi t / 2) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right).
  • O intervalo de integração é de t=0 até t=1.
  • Trata-se de uma integral definida, então vamos encontrar uma antiderivada e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Pela regra da cadeia, se u = u(t), então
\frac{d}{dt}\sin(u(t)) = \cos(u(t))\cdot u'(t).
Invertendo essa relação, uma primitiva (antiderivada) de \cos(u(t)) é \dfrac{1}{u'(t)}\sin(u(t)) quando u'(t) é constante. No caso de \cos(a t) com a constante, a antiderivada é \dfrac{1}{a}\sin(a t). Vou mostrar isso por substituição para deixar claro.

Passo 3

Fazer a substituição u=\dfrac{\pi t}{2}. Então
du = \frac{\pi}{2}\,dt \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{2}{\pi}\,du.
A integral fica (trocando os limites correspondentes abaixo):
\int \cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\,dt = \int \cos(u)\cdot\frac{2}{\pi}\,du = \frac{2}{\pi}\int \cos(u)\,du.
Sabemos que \int \cos(u)\,du = \sin(u)+C. Portanto uma antiderivada em t é
F(t)=\frac{2}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida: evaluate F em t=1 e t=0 e subtrair.
Calculamos os argumentos:
\frac{\pi\cdot 1}{2}=\frac{\pi}{2},\qquad \frac{\pi\cdot 0}{2}=0.
Sabemos que \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e \sin(0)=0. Então
\int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\,dt = F(1)-F(0) = \frac{2}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{2}{\pi}\sin(0) = \frac{2}{\pi}\,(1-0).

Passo 5

Conclusão e dica para a prova: toda vez que você tiver \cos(a t) ou \sin(a t) com a constante, lembre que a antiderivada de \cos(a t) é \dfrac{1}{a}\sin(a t) e a de \sin(a t) é -\dfrac{1}{a}\cos(a t). Isso evita cálculos desnecessários. Aqui o fator \dfrac{2}{\pi} veio justamente por essa constante de escala.

Resposta

\dfrac{2}{\pi}

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