Calcule a integral indefinida.
\int \frac{a+b x^{2}}{\sqrt{3 a x+b x^{3}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{a+b x^{2}}{\sqrt{3 a x+b x^{3}}}\,dx.
Informações dadas e suposições úteis:
  • a e b são constantes (não dependem de x).
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 3 a x+b x^{3}. Para que a integral faça sentido real, supomos que 3 a x+b x^{3}>0 no intervalo considerado (mas a técnica vale simbolicamente independentemente do sinal, ajustando constantes complexas se necessário).
  • Queremos a primitiva (a antiderivada) em função de x, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia e escolha da substituição (motivações passo a passo):
  • Observe que a parte dentro da raiz é 3 a x+b x^{3}. Uma técnica clássica é testar a substituição u= (expressão dentro da raiz), porque então \sqrt{3 a x+b x^{3}}=\sqrt{u}.
  • Vamos calcular a diferencial de u. Defina
u = 3 a x + b x^{3}.
Agora derive em relação a x:
\frac{du}{dx} = 3a + 3b x^{2} = 3(a+b x^{2}).
Isto significa que
du = 3(a+b x^{2})\,dx.
Portanto podemos isolar o diferencial que aparece no numerador:
(a+b x^{2})\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Essa observação é a chave: o numerador da integral é exatamente a+b x^{2}, então a substituição vai eliminar x de forma direta.

Passo 3

Fazer a substituição na integral:
  • Substituímos u=3 a x+b x^{3} e (a+b x^{2})\,dx = \dfrac{1}{3}\,du.
    A integral original fica
\int \frac{a+b x^{2}}{\sqrt{3 a x+b x^{3}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{3}\,du.
Colocando o fator constante para fora,
= \frac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Integrar usando a regra de potência para primitiva:
  • Lembrete da regra: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos n=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra:
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C = \frac{u^{1/2}}{1/2}+C = 2u^{1/2}+C.
Logo
\frac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot(2u^{1/2})+C = \frac{2}{3}u^{1/2}+C.

Passo 5

Voltar à variável x (back-substitution) e simplificar:
  • Relembrando que u=3 a x+b x^{3}, substituímos de volta:
\frac{2}{3}u^{1/2}+C = \frac{2}{3}\sqrt{3 a x+b x^{3}}+C.
Esse é o resultado simplificado da primitiva.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (confirmação):
  • Diferencie F(x)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3 a x+b x^{3}}. Escrevendo como potência,
F(x)=\frac{2}{3}(3 a x+b x^{3})^{1/2}.
A derivada é, pela regra da cadeia,
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(3 a x+b x^{3})^{-1/2}\cdot(3a+3b x^{2}).
Simplificando os fatores:
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 3\,(a+b x^{2})(3 a x+b x^{3})^{-1/2} = (a+b x^{2})(3 a x+b x^{3})^{-1/2},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3 a x+b x^{3}}+C

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