Calcule a integral indefinida.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e suposições úteis:
-
e são constantes (não dependem de ). - A expressão dentro da raiz quadrada é
. Para que a integral faça sentido real, supomos que no intervalo considerado (mas a técnica vale simbolicamente independentemente do sinal, ajustando constantes complexas se necessário). - Queremos a primitiva (a antiderivada) em função de
, mais uma constante de integração .
Passo 2
Ideia e escolha da substituição (motivações passo a passo):
- Observe que a parte dentro da raiz é
. Uma técnica clássica é testar a substituição (expressão dentro da raiz), porque então . - Vamos calcular a diferencial de
. Defina
Agora derive em relação a
:
Isto significa que
Portanto podemos isolar o diferencial que aparece no numerador:
Essa observação é a chave: o numerador da integral é exatamente
, então a substituição vai eliminar
de forma direta.
Passo 3
Fazer a substituição na integral:
- Substituímos
e .
A integral original fica
Colocando o fator constante para fora,
Passo 4
Integrar usando a regra de potência para primitiva:
- Lembrete da regra: para
,
Aqui temos
. Aplicando a regra:
Logo
Passo 5
Voltar à variável
(back-substitution) e simplificar:
- Relembrando que
, substituímos de volta:
Esse é o resultado simplificado da primitiva.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (confirmação):
- Diferencie
. Escrevendo como potência,
A derivada é, pela regra da cadeia,
Simplificando os fatores:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.