Encontre a integral indefinida geral.
\int(u+4)(2 u+1) d u.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida geral
\int (u+4)(2u+1)\,du.
Informações dadas: a variável de integração é u e o integrando é o produto de dois polinômios (u+4) e (2u+1). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) geral, ou seja, uma função F(u) tal que F'(u)=(u+4)(2u+1), adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vamos primeiro expandir o produto para ficar com uma soma de potências de u. Isso facilita porque integrar polinômios é direto usando a regra do poder. Expandir é mais rápido do que tentar integrar o produto diretamente aqui.

Passo 3

Vamos multiplicar termo a termo:
(u+4)(2u+1)=u\cdot(2u+1)+4\cdot(2u+1).
Calculando cada parte:
u(2u+1)=2u^2+u,
4(2u+1)=8u+4.
Somando,
(u+4)(2u+1)=2u^2+u+8u+4=2u^2+9u+4.

Passo 4

Usamos agora a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em notação:
\int (2u^2+9u+4)\,du=\int 2u^2\,du+\int 9u\,du+\int 4\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra do poder para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Também usamos que \int a\cdot f(u)\,du=a\int f(u)\,du para constante a.
Calcule termo a termo:
Para \int 2u^2\,du:
\int 2u^2\,du=2\int u^2\,du=2\cdot\frac{u^{3}}{3}=\frac{2}{3}u^{3}.
Para \int 9u\,du:
\int 9u\,du=9\int u\,du=9\cdot\frac{u^{2}}{2}=\frac{9}{2}u^{2}.
Para \int 4\,du:
\int 4\,du=4\int 1\,du=4u.

Passo 6

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(u)=\frac{2}{3}u^{3}+\frac{9}{2}u^{2}+4u+C.

Passo 7

Checagem rápida (derivando F para confirmar):
F'(u)=\frac{2}{3}\cdot 3u^{2}+\frac{9}{2}\cdot 2u+4=2u^{2}+9u+4,
que é justamente o integrando expandido, portanto está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}u^{3}+\frac{9}{2}u^{2}+4u+C

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