Encontre a integral indefinida geral.
.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida geral
Informações dadas: a variável de integração é
e o integrando é o produto de dois polinômios
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) geral, ou seja, uma função
tal que
, adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: vamos primeiro expandir o produto para ficar com uma soma de potências de
. Isso facilita porque integrar polinômios é direto usando a regra do poder. Expandir é mais rápido do que tentar integrar o produto diretamente aqui.
Passo 3
Vamos multiplicar termo a termo:
Calculando cada parte:
Somando,
Passo 4
Usamos agora a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em notação:
Passo 5
Aplicamos a regra do poder para integrais. A regra diz que, para
,
Também usamos que
para constante
.
Calcule termo a termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Checagem rápida (derivando
para confirmar):
que é justamente o integrando expandido, portanto está correto.