Calcule a integral indefinida
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é uma função racional, com numerador
e denominador . - O objetivo é calcular uma primitiva (integral indefinida) dessa função, ou seja encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Primeiro passo prático: completar o quadrado no polinômio quadrático do denominador para simplificar a forma. Observa-se que
É muito conveniente fazer a mudança de variável que centraliza em
. Defino
Assim
e o denominador fica
. Vou reescrever numerador e denominador em
.
Passo 3
Reescrevendo o numerador em termos de
:
Calculando termo a termo:
Somando tudo:
Portanto a integral em
é
Passo 4
A estratégia agora é decompor o numerador em combinações que gerem integrais conhecidas. Procuro constantes
tais que
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
obtemos o sistema
Logo a decomposição é válida com
.
Passo 5
Usando a decomposição obtemos
Simplificando:
Portanto a integral se separa em três integrais mais simples:
Passo 6
Calculo da primeira integral
Faço a substituição
, então
ou
. Assim
Passo 7
Calculo da segunda integral (fórmula direta de arco-tangente):
Lembrando que
. Aqui
, logo
Passo 8
Calculo da terceira integral
Vou usar um método padrão: tomar
e fazer
. Com
temos
e
Portanto
Usando
segue
Voltando a
:
e
. Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Portanto a fórmula final é
Agora tomo
. Então
e
. Substituindo:
Passo 9
Agora reúno os três resultados (lembrando do fator
do terceiro termo):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo (multiplicado por
): .
Somando:
Simplificando coeficientes:
Junto os dois termos racionais sobre o mesmo denominador:
Lembrando que
e
, volto à variável
. Assim uma primitiva é
Simplificando o numerador
, obtenho a forma final da primitiva.