Calcule a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-3 x+7}{\left(x^{2}-4 x+6\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-3x+7}{\left(x^{2}-4x+6\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é uma função racional, com numerador x^{2}-3x+7 e denominador \left(x^{2}-4x+6\right)^{2}.
  • O objetivo é calcular uma primitiva (integral indefinida) dessa função, ou seja encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}-3x+7}{\left(x^{2}-4x+6\right)^{2}}.

Passo 2

Primeiro passo prático: completar o quadrado no polinômio quadrático do denominador para simplificar a forma. Observa-se que
x^{2}-4x+6=(x-2)^{2}+2.
É muito conveniente fazer a mudança de variável que centraliza em x=2. Defino
t=x-2, \qquad dx=dt.
Assim x=t+2 e o denominador fica t^{2}+2. Vou reescrever numerador e denominador em t.

Passo 3

Reescrevendo o numerador em termos de t:
x^{2}-3x+7=(t+2)^{2}-3(t+2)+7.
Calculando termo a termo:
(t+2)^{2}=t^{2}+4t+4, \qquad -3(t+2)=-3t-6.
Somando tudo:
t^{2}+4t+4-3t-6+7 = t^{2}+t+5.
Portanto a integral em t é
\int \frac{t^{2}+t+5}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.

Passo 4

A estratégia agora é decompor o numerador em combinações que gerem integrais conhecidas. Procuro constantes \alpha,\beta,\gamma tais que
t^{2}+t+5 = \alpha\cdot(2t) + \beta\cdot(t^{2}+2) + \gamma.
Expandindo o lado direito:
\alpha(2t)+\beta t^{2}+2\beta+\gamma = \beta t^{2} + (2\alpha)t + (2\beta+\gamma).
Comparando coeficientes com t^{2}+t+5 obtemos o sistema
\beta = 1,\qquad 2\alpha = 1 \Rightarrow \alpha=\tfrac{1}{2},\qquad 2\beta+\gamma=5 \Rightarrow \gamma=3.
Logo a decomposição é válida com \alpha=\tfrac{1}{2},\beta=1,\gamma=3.

Passo 5

Usando a decomposição obtemos
\frac{t^{2}+t+5}{(t^{2}+2)^{2}} = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot(2t)}{(t^{2}+2)^{2}}+\frac{1}{t^{2}+2}+\frac{3}{(t^{2}+2)^{2}}.
Simplificando:
\frac{t^{2}+t+5}{(t^{2}+2)^{2}} = \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}} + \frac{1}{t^{2}+2} + \frac{3}{(t^{2}+2)^{2}}.
Portanto a integral se separa em três integrais mais simples:
\int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt \;+\; \int \frac{1}{t^{2}+2}\,dt \;+\; 3\int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.

Passo 6

Calculo da primeira integral
\int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
Faço a substituição u=t^{2}+2, então du=2t\,dt ou t\,dt=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt = \int \frac{1}{2}\frac{du}{u^{2}} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right) + C = -\frac{1}{2(t^{2}+2)} + C.

Passo 7

Calculo da segunda integral (fórmula direta de arco-tangente):
\int \frac{1}{t^{2}+2}\,dt.
Lembrando que \displaystyle\int\frac{1}{t^{2}+a^{2}}\,dt=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right)+C. Aqui a=\sqrt{2}, logo
\int \frac{1}{t^{2}+2}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + C.

Passo 8

Calculo da terceira integral
\int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
Vou usar um método padrão: tomar a=\sqrt{2} e fazer t=a\tan\theta. Com t=a\tan\theta temos dt=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
t^{2}+a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Portanto
\int \frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}}\,dt = \int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{4}\operatorname{sec}^{4}\theta} = \frac{1}{a^{3}}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2} segue
\frac{1}{a^{3}}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2a^{3}}\int (1+\cos 2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2a^{3}}\Big(\theta+\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Big)+C.
Voltando a t: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{t}{a}\right) e \sin 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta} = \dfrac{2(t/a)}{1+(t/a)^{2}} = \dfrac{2t a}{t^{2}+a^{2}}. Substituindo:
\int \frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}}\,dt = \frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{2a^{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2ta}{t^{2}+a^{2}} + C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{2a^{3}}\cdot\frac{ta}{t^{2}+a^{2}} = \frac{t}{2a^{2}(t^{2}+a^{2})}.
Portanto a fórmula final é
\int \frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}}\,dt = \frac{t}{2a^{2}(t^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right) + C.
Agora tomo a=\sqrt{2}. Então a^{2}=2 e a^{3}=2\sqrt{2}. Substituindo:
\int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt = \frac{t}{4(t^{2}+2)} + \frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + C.

Passo 9

Agora reúno os três resultados (lembrando do fator 3 do terceiro termo):
  • Primeiro termo: -\dfrac{1}{2(t^{2}+2)}.
  • Segundo termo: \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\dfrac{t}{\sqrt{2}}\right).
  • Terceiro termo (multiplicado por 3): 3\left(\dfrac{t}{4(t^{2}+2)} + \dfrac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)\right).
Somando:
-\frac{1}{2(t^{2}+2)} + \frac{t}{(t^{2}+2)}\cdot\frac{3}{4} \;+\; \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + C.
Simplificando coeficientes:
\frac{3}{4}\cdot\frac{t}{t^{2}+2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+2} + \frac{7}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + C.
Junto os dois termos racionais sobre o mesmo denominador:
\frac{3t}{4(t^{2}+2)} - \frac{2}{4(t^{2}+2)} = \frac{3t-2}{4(t^{2}+2)}.
Lembrando que t=x-2 e t^{2}+2 = x^{2}-4x+6, volto à variável x. Assim uma primitiva é
\frac{3(x-2)-2}{4(x^{2}-4x+6)} + \frac{7}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\right) + C.
Simplificando o numerador 3(x-2)-2=3x-8, obtenho a forma final da primitiva.

Resposta

\boxed{\frac{3x-8}{4\left(x^{2}-4x+6\right)}+\frac{7}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\right)+C}

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