Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações fornecidas e observações úteis:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
. - Lembrar que
, então a integranda fica indefinida quando (ou seja, em ), mas isso não impede achar uma primitiva localmente. - Não foi pedido um método específico — vamos transformar a expressão usando identidades trigonométricas básicas para chegar a integrais conhecidas.
Passo 2
Escolha do método e por quê (rápida explicação):
- Um truque clássico aqui é multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada
. Isso costuma simplificar frações com somas/diferenças de funções trigonométricas porque aparece a identidade , que é simples de manipular. - Alternativa possível seria a substituição de Weierstrass (
), mas é mais trabalhosa. O método da conjugação é mais direto e usa apenas identidades elementares.
Passo 3
Multiplicando pela conjugada e simplificando algebricamente:
Agora usamos a identidade trigonométrica
logo
Passo 4
Escrever a expressão em funções mais manejáveis (
) e explicar cada passo:
- Lembrando definições:
, , e .
Partindo de
escrevemos em termos de
e
:
Agora manipulo para obter funções padrões:
Reconhecendo razões trigonométricas:
Logo
Passo 5
Reescrever
usando identidade útil para integrar facilmente:
- Sabendo que
, temos .
Substituindo:
Portanto a integral fica
Passo 6
Integração termo a termo, com mini-aula sobre as derivadas/integras trigonométricas usadas:
- Derivadas conhecidas (lembrando porque elas ajudam a integrar):
-
. Assim, (porque a derivada de é ). -
. Assim, (porque a derivada de é ). -
.
-
- Aplicando essas integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Interpretação e formas equivalentes:
- O resultado obtido é uma primitiva válida e podemos checar diferenciando:
-
,
que, ao manipular algébrica e trigonométricamente, volta a ser.
-
- Também podemos escrever
, então outra forma equivalente é
. Mas vou manter a forma com funções trigonométricas padrão por clareza.