Calcule a integral indefinida:
\int \frac{1}{\operatorname{sec} \theta+1} d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}\,d\theta.
Informações fornecidas e observações úteis:
  • A variável de integração é \theta.
  • A função integranda é \dfrac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}.
  • Lembrar que \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, então a integranda fica indefinida quando \cos\theta=-1 (ou seja, em \theta=\pi+2k\pi), mas isso não impede achar uma primitiva localmente.
  • Não foi pedido um método específico — vamos transformar a expressão usando identidades trigonométricas básicas para chegar a integrais conhecidas.

Passo 2

Escolha do método e por quê (rápida explicação):
  • Um truque clássico aqui é multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada \operatorname{sec}\theta-1. Isso costuma simplificar frações com somas/diferenças de funções trigonométricas porque aparece a identidade \operatorname{sec}^2\theta-1=\tan^2\theta, que é simples de manipular.
  • Alternativa possível seria a substituição de Weierstrass ( t=\tan(\theta/2)), mas é mais trabalhosa. O método da conjugação é mais direto e usa apenas identidades elementares.

Passo 3

Multiplicando pela conjugada e simplificando algebricamente:
\frac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}=\frac{\operatorname{sec}\theta-1}{(\operatorname{sec}\theta+1)(\operatorname{sec}\theta-1)} =\frac{\operatorname{sec}\theta-1}{\operatorname{sec}^2\theta-1}.
Agora usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^2\theta-1=\tan^2\theta,
logo
\frac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}=\frac{\operatorname{sec}\theta-1}{\tan^2\theta}.

Passo 4

Escrever a expressão em funções mais manejáveis ( \sin,\cos,\cot,\csc) e explicar cada passo:
  • Lembrando definições: \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}, \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} e \csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}.
    Partindo de
\frac{\operatorname{sec}\theta-1}{\tan^2\theta},
escrevemos em termos de \sin e \cos:
\frac{\dfrac{1}{\cos\theta}-1}{\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}} =\frac{\dfrac{1-\cos\theta}{\cos\theta}}{\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}} =(1-\cos\theta)\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.
Agora manipulo para obter funções padrões:
(1-\cos\theta)\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} =\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}-\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}.
Reconhecendo razões trigonométricas:
\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}=\cot\theta\,\csc\theta, \qquad \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\cot^2\theta.
Logo
\frac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}=\cot\theta\,\csc\theta-\cot^2\theta.

Passo 5

Reescrever \cot^2\theta usando identidade útil para integrar facilmente:
  • Sabendo que \csc^2\theta=1+\cot^2\theta, temos \cot^2\theta=\csc^2\theta-1.
    Substituindo:
\cot\theta\,\csc\theta-\cot^2\theta =\cot\theta\,\csc\theta-(\csc^2\theta-1) =\cot\theta\,\csc\theta-\csc^2\theta+1.
Portanto a integral fica
\int \frac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}\,d\theta =\int\big(\cot\theta\,\csc\theta-\csc^2\theta+1\big)\,d\theta.

Passo 6

Integração termo a termo, com mini-aula sobre as derivadas/integras trigonométricas usadas:
  • Derivadas conhecidas (lembrando porque elas ajudam a integrar):
    • \dfrac{d}{d\theta}\big(\csc\theta\big)=-\csc\theta\,\cot\theta. Assim, \int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta=-\csc\theta (porque a derivada de -\csc\theta é \cot\theta\,\csc\theta).
    • \dfrac{d}{d\theta}\big(\cot\theta\big)=-\csc^2\theta. Assim, \int -\csc^2\theta\,d\theta=\cot\theta (porque a derivada de \cot\theta é -\csc^2\theta).
    • \int 1\,d\theta=\theta.
  • Aplicando essas integrais:
\int\big(\cot\theta\,\csc\theta-\csc^2\theta+1\big)\,d\theta =-\csc\theta+\cot\theta+\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Interpretação e formas equivalentes:
  • O resultado obtido é uma primitiva válida e podemos checar diferenciando:
    • \dfrac{d}{d\theta}\big(\theta+\cot\theta-\csc\theta\big) =1 -\csc^2\theta + \csc\theta\cot\theta,
      que, ao manipular algébrica e trigonométricamente, volta a ser \dfrac{1}{\operatorname{sec}\theta+1}.
  • Também podemos escrever \cot\theta-\csc\theta=\dfrac{\cos\theta-1}{\sin\theta}, então outra forma equivalente é
    \theta+\dfrac{\cos\theta-1}{\sin\theta}+C. Mas vou manter a forma com funções trigonométricas padrão por clareza.

Resposta

\theta+\cot\theta-\csc\theta+C

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