Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O problema pede a integral indefinida
Informações dadas:
- A integral é indefinida (queremos uma primitiva mais constante de integração).
- O integrando é o produto de
por . - Não há limites de integração; a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia útil (aula rápida sobre substituição): quando você vê uma função composta como
e junto aparece algo como
, vale testar a substituição da parte interna da composição. Vamos tentar:
Explicação do porquê: a derivada de
é
. Ou seja, a relação entre diferenciais é simples e direta, o que costuma transformar a integral em algo mais simples.
Passo 3
Calcule o diferencial da substituição (passo obrigatório para substituir corretamente):
Como
aparece no integrando, podemos trocar exatamente essa parte por
. Substituindo na integral original obtemos:
Passo 4
Agora precisamos resolver
. Estratégia didática: usar a identidade
porque isso permite uma nova substituição simples. Explico passo a passo: escrever a potência ímpar de cosseno como
vezes
é uma técnica padrão para integrar potências ímpares de seno ou cosseno.
Passo 5
Faça a segunda substituição dentro dessa integral (aqui é simples e direto):
defina
defina
Então, usando
,
Agora integramos um polinômio em
, que é trivial.
Passo 6
Integre
:
Volte de
para
(pois
):
Passo 7
Volte de
para
usando
. Substituindo:
Verificação rápida (como checar na prova): derive a primitiva obtida. Usando a regra da cadeia,
Somando,
que é justamente o integrando original. Está correto!