Calcule a integral indefinida:
\int \operatorname{sec} ^{2} y \cos ^{3}(\tan y) d y

Passo 1

O problema pede a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2} y \cos^{3}(\tan y)\,dy.
Informações dadas:
  • A integral é indefinida (queremos uma primitiva mais constante de integração).
  • O integrando é o produto de \operatorname{sec}^{2} y por \cos^{3}(\tan y).
  • Não há limites de integração; a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia útil (aula rápida sobre substituição): quando você vê uma função composta como \cos(\tan y) e junto aparece algo como \operatorname{sec}^{2}y\,dy, vale testar a substituição da parte interna da composição. Vamos tentar:
u=\tan y.
Explicação do porquê: a derivada de \tan y é \operatorname{sec}^{2}y. Ou seja, a relação entre diferenciais é simples e direta, o que costuma transformar a integral em algo mais simples.

Passo 3

Calcule o diferencial da substituição (passo obrigatório para substituir corretamente):
\frac{du}{dy}=\operatorname{sec}^{2}y \quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec}^{2}y\,dy.
Como \operatorname{sec}^{2}y\,dy aparece no integrando, podemos trocar exatamente essa parte por du. Substituindo na integral original obtemos:
\int \operatorname{sec}^{2}y \cos^{3}(\tan y)\,dy = \int \cos^{3}(u)\,du.

Passo 4

Agora precisamos resolver \int \cos^{3}u\,du. Estratégia didática: usar a identidade
\cos^{3}u=\cos u\,(1-\sin^{2}u),
porque isso permite uma nova substituição simples. Explico passo a passo: escrever a potência ímpar de cosseno como \cos u vezes (1-\sin^{2}u) é uma técnica padrão para integrar potências ímpares de seno ou cosseno.

Passo 5

Faça a segunda substituição dentro dessa integral (aqui é simples e direto):
defina
t=\sin u \quad\Rightarrow\quad dt=\cos u\,du.
Então, usando \cos^{3}u=\cos u(1-\sin^{2}u),
\int \cos^{3}u\,du = \int \cos u\,(1-\sin^{2}u)\,du = \int (1-t^{2})\,dt.
Agora integramos um polinômio em t, que é trivial.

Passo 6

Integre \int (1-t^{2})\,dt:
\int (1-t^{2})\,dt = t - \frac{t^{3}}{3} + C.
Volte de t para u (pois t=\sin u):
\int \cos^{3}u\,du = \sin u - \frac{1}{3}\sin^{3}u + C.

Passo 7

Volte de u para y usando u=\tan y. Substituindo:
\int \operatorname{sec}^{2}y \cos^{3}(\tan y)\,dy = \sin(\tan y) - \frac{1}{3}\sin^{3}(\tan y) + C.
Verificação rápida (como checar na prova): derive a primitiva obtida. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\bigg[\sin(\tan y)\bigg]=\cos(\tan y)\cdot\operatorname{sec}^{2}y,
\frac{d}{dy}\bigg[-\tfrac{1}{3}\sin^{3}(\tan y)\bigg]= -\sin^{2}(\tan y)\cos(\tan y)\cdot\operatorname{sec}^{2}y.
Somando,
\cos(\tan y)\operatorname{sec}^{2}y\big(1-\sin^{2}(\tan y)\big)=\cos(\tan y)\operatorname{sec}^{2}y\cdot\cos^{2}(\tan y)=\operatorname{sec}^{2}y\cos^{3}(\tan y),
que é justamente o integrando original. Está correto!

Resposta

\sin(\tan y)-\dfrac{1}{3}\sin^{3}(\tan y)+C

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