Calcule a integral indefinida.
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{6+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{6+x^{2}}}\,dx.
O conteúdo é técnicas de integração: vamos reescrever o integrando para separar em partes conhecidas.

Passo 2

Note que
x^{2} = (6+x^{2}) - 6,
logo
\frac{x^{2}}{\sqrt{6+x^{2}}} = \frac{6+x^{2}}{\sqrt{6+x^{2}}} \;-\;\frac{6}{\sqrt{6+x^{2}}} = \sqrt{6+x^{2}}\;-\;6\,\frac{1}{\sqrt{6+x^{2}}}.
Portanto
I = \int \sqrt{6+x^{2}}\,dx \;-\;6\int \frac{1}{\sqrt{6+x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Usamos a fórmula padrão
\int \sqrt{a^{2}+x^{2}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}} +\frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\bigr| + C.
Aqui a^{2}=6, logo
\int \sqrt{6+x^{2}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{6+x^{2}} +\frac{6}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr| + C =\frac{x}{2}\sqrt{6+x^{2}}+3\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr|+C.

Passo 4

Também conhecemos
\int \frac{1}{\sqrt{6+x^{2}}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr|+C.

Passo 5

Substituindo em I:
I =\Bigl(\frac{x}{2}\sqrt{6+x^{2}}+3\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr|\Bigr) -6\Bigl(\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr|\Bigr)+C.
Agrupando os termos em \ln:
I =\frac{x}{2}\sqrt{6+x^{2}} -3\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr|+C'.

Resposta

\boxed{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{6+x^{2}}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{6+x^{2}} -3\ln\bigl|x+\sqrt{6+x^{2}}\bigr|+C.}

Exercícios relacionados