Calcule a integral indefinida.
\int \frac{d x}{\left(6-x^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\bigl(6 - x^{2}\bigr)^{3/2}}.
Esse tipo de integral tem a forma \int (a^{2}-x^{2})^{-3/2}dx, e uma estratégia clássica é usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \sqrt{6}\,\sin t,
então
dx = \sqrt{6}\,\cos t\,dt \quad\text{e}\quad 6 - x^{2} = 6 - 6\sin^{2}t = 6\cos^{2}t.
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(6 - x^{2})^{3/2} = \bigl(6\cos^{2}t\bigr)^{3/2} =6^{3/2}\,\cos^{3}t = 6\sqrt{6}\,\cos^{3}t.
Substituindo tudo na integral,
\int \frac{dx}{(6 - x^{2})^{3/2}} = \int \frac{\sqrt{6}\,\cos t\,dt}{6\sqrt{6}\,\cos^{3}t} = \int \frac{dt}{6\,\cos^{2}t}.

Passo 3

Reconhecemos que \frac{1}{\cos^{2}t}=\operatorname{sec}^{2}t. Assim,
\int \frac{dt}{6\,\cos^{2}t} = \frac{1}{6}\int \operatorname{sec}^{2}t\,dt = \frac{1}{6}\tan t + C.

Passo 4

Falta voltar para x. Da substituição,
\sin t = \frac{x}{\sqrt{6}} \quad\Longrightarrow\quad \cos t = \frac{\sqrt{6 - x^{2}}}{\sqrt{6}} \quad\Longrightarrow\quad \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}}.
Portanto a primitiva fica
\frac{1}{6}\,\tan t + C = \frac{1}{6}\,\frac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{\bigl(6 - x^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{x}{6\,\sqrt{6 - x^{2}}} + C.

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