Calcule a integral indefinida.
\int \frac{x}{x^{2}-4 x+8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de fração racional. Para resolver, vamos (1) completar o quadrado no denominador, (2) decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e parte constante, e (3) usar substituição e fórmula de arco-tangente.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^{2}-4x+8 = (x-2)^{2} + 4.

Passo 3

Escrever x como soma de (x-2) e uma constante:
x = (x-2) + 2.
Logo,
\int \frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx = \int \frac{x-2}{(x-2)^{2}+4}\,dx \;+\; 2\int \frac{1}{(x-2)^{2}+4}\,dx.

Passo 4

Para a primeira integral note que a derivada de (x-2)^{2}+4 é 2(x-2). Assim, com u=(x-2)^{2}+4 e du=2(x-2)\,dx, temos
\int \frac{x-2}{(x-2)^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{1}{2}\ln\bigl((x-2)^{2}+4\bigr).

Passo 5

Para a segunda integral usamos a fórmula
\int \frac{dx}{(x-2)^{2}+2^{2}} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x-2}{2}\bigr).
Multiplicando por 2, obtemos
2\int \frac{dx}{(x-2)^{2}+4} = 2\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x-2}{2}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{x-2}{2}\bigr).

Passo 6

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, a antiderivada é
\frac{1}{2}\ln\bigl((x-2)^{2}+4\bigr) \;+\; \arctan\!\bigl(\tfrac{x-2}{2}\bigr) \;+\;C.

Resposta

\int \frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl((x-2)^{2}+4\bigr) + \arctan\!\Bigl(\frac{x-2}{2}\Bigr) + C.

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