Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado para cada solução.
(a) \frac{d P}{d t}=P(1-P) ; \quad P=\frac{c_{1} e^{t}}{1+c_{1} e^{t}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a família
P(t)=\frac{c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}}
satisfaz a equação diferencial logística
\frac{dP}{dt}=P(1-P).
O que vamos precisar é calcular \frac{dP}{dt} por regra do quociente e depois mostrar que isso coincide com P(1-P).

Passo 2

Para calcular \frac{dP}{dt} usamos a regra do quociente em
P(t)=\frac{N(t)}{D(t)},\quad N(t)=c_{1}e^{t},\;D(t)=1+c_{1}e^{t}.
Pela regra do quociente:
\frac{dP}{dt} =\frac{N'(t)D(t)-N(t)D'(t)}{[D(t)]^{2}} =\frac{(c_{1}e^{t})(1+c_{1}e^{t})-c_{1}e^{t}\,(c_{1}e^{t})}{(1+c_{1}e^{t})^{2}}.
No numerador temos
c_{1}e^{t}+c_{1}^{2}e^{2t}-c_{1}^{2}e^{2t}=c_{1}e^{t},
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\frac{dP}{dt} =\frac{c_{1}e^{t}}{(1+c_{1}e^{t})^{2}}.

Passo 3

Agora escrevemos
P(t)=\frac{c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}} \quad\Longrightarrow\quad 1-P(t)=\frac{1+c_{1}e^{t}-c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}} =\frac{1}{1+c_{1}e^{t}}.
Multiplicando,
P(t)\bigl(1-P(t)\bigr) =\frac{c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}} \;\cdot\;\frac{1}{1+c_{1}e^{t}} =\frac{c_{1}e^{t}}{(1+c_{1}e^{t})^{2}} =\frac{dP}{dt}.
Isso mostra que \frac{dP}{dt}=P(1-P). Para garantir que P(t) esteja bem definida, basta escolher o intervalo
I=\{t\in\mathbb{R}\mid 1+c_{1}e^{t}\neq0\},
por exemplo I=\mathbb{R} se c_{1}>0.

Resposta

A função
P(t)=\frac{c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}}
satisfaz de fato \frac{dP}{dt}=P(1-P) no intervalo apropriado onde 1+c_{1}e^{t}\neq0.

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