Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Enunciado: Calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função integranda é
. - A variável de integração é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método (substituição simples): quando a integranda apresenta uma função composta, muitas vezes é útil fazer uma substituição do tipo
que torne a integral mais simples. Aqui vemos
e um fator
que lembra a derivada de
. Então fazemos a substituição
Agora precisamos relacionar
com
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra de derivação de potência):
Isto é,
Rearranjando, obtemos
Passo 3
Aplicando a substituição na integral: trocando
por
e
por
, a integral fica
Passo 4
Calcule a integral em
. Sabemos que a derivada de
é
, logo uma primitiva de
é
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volte para a variável original
substituindo
. Obtém-se
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): calcule a derivada de
usando a regra da cadeia. Seja
. Então
que é exatamente a integranda. Perfeito — a primitiva está correta.\n\nVocê conseguiu! Substituição do tipo
foi a chave. Um exemplo parecido e rápido:
com
dá
— mesma ideia, só cuidar do fator da derivada.