Calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{sen}(1 / x) / x^{2} d x

Passo 1

Enunciado: Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{\sin(1/x)}{x^{2}}\,dx.\n
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função integranda é \displaystyle \frac{\sin(1/x)}{x^{2}}.
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sin(1/x)}{x^{2}}.
  • Devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método (substituição simples): quando a integranda apresenta uma função composta, muitas vezes é útil fazer uma substituição do tipo u=g(x) que torne a integral mais simples. Aqui vemos \sin(1/x) e um fator 1/x^{2} que lembra a derivada de 1/x. Então fazemos a substituição
u = \frac{1}{x}.
Agora precisamos relacionar du com dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra de derivação de potência):
u = x^{-1}\quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx} = -x^{-2}.
Isto é,
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Rearranjando, obtemos
\frac{1}{x^{2}}\,dx = -du.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral: trocando \displaystyle \frac{1}{x^{2}}\,dx por -du e \sin(1/x) por \sin(u), a integral fica
\int \frac{\sin(1/x)}{x^{2}}\,dx = \int \sin(u)\cdot\bigl(-du\bigr) = -\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Calcule a integral em u. Sabemos que a derivada de \cos(u) é -\sin(u), logo uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Assim,
-\int \sin(u)\,du = -\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = \cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volte para a variável original x substituindo u=\dfrac{1}{x}. Obtém-se
\cos(u)+C = \cos\!\bigl(1/x\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): calcule a derivada de \cos(1/x) usando a regra da cadeia. Seja u=1/x. Então
\frac{d}{dx}\cos(1/x)=\frac{d}{du}\cos(u)\cdot\frac{du}{dx}=(-\sin(u))\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)=\frac{\sin(1/x)}{x^{2}},
que é exatamente a integranda. Perfeito — a primitiva está correta.\n\nVocê conseguiu! Substituição do tipo u=g(x) foi a chave. Um exemplo parecido e rápido: \int \sin(3x)\,dx com u=3x -\frac{1}{3}\cos(3x)+C — mesma ideia, só cuidar do fator da derivada.

Resposta

\cos(1/x)+C

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