Use a Regra do Ponto Médio, com n=4, para aproximar a integral
\int_{0}^{2}(8 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral \displaystyle\int_{0}^{2}(8x+3)\,dx usando a Regra do Ponto Médio com n=4. Dados fornecidos e o que é pedido:
\text{Integrando: }f(x)=8x+3,\qquad a=0,\qquad b=2,\qquad n=4.
Queremos calcular a aproximação pelo método do ponto médio com esses parâmetros.

Passo 2

Apresento a fórmula e explico cada símbolo (aqui você aprende o que usar na prova).
A Regra do Ponto Médio com n subintervalos é dada por
M_n=\Delta x\sum_{i=1}^{n} f(\bar{x}_i),
onde
\Delta x=\frac{b-a}{n}
é a largura de cada subintervalo, e \bar{x}_i é o ponto médio do i-ésimo subintervalo, dado por
\bar{x}_i = a+\left(i-\tfrac{1}{2}\right)\Delta x.
Significado prático: dividimos o intervalo [a,b] em n pedaços iguais, calculamos o valor de f no meio de cada pedaço e somamos esses valores multiplicados pela largura \Delta x. É a mesma ideia de aproximar a área por retângulos com altura em cada ponto médio.

Passo 3

Calculo de \Delta x:
\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=0,5.

Passo 4

Calculo dos pontos médios \bar{x}_i para i=1,2,3,4 usando \bar{x}_i=a+(i-\tfrac{1}{2})\Delta x:
\bar{x}_i=(i-\tfrac{1}{2})\cdot 0,5.
Agora os valores:
\bar{x}_1=(1-\tfrac{1}{2})\cdot 0,5=0,25,
\bar{x}_2=(2-\tfrac{1}{2})\cdot 0,5=0,75,
\bar{x}_3=(3-\tfrac{1}{2})\cdot 0,5=1,25,
\bar{x}_4=(4-\tfrac{1}{2})\cdot 0,5=1,75.

Passo 5

Avalio f(x)=8x+3 em cada ponto médio e somo:
f(0,25)=8\cdot 0,25+3=2+3=5,
f(0,75)=8\cdot 0,75+3=6+3=9,
f(1,25)=8\cdot 1,25+3=10+3=13,
f(1,75)=8\cdot 1,75+3=14+3=17.
Soma dos valores:
\sum_{i=1}^{4} f(\bar{x}_i)=5+9+13+17=44.

Passo 6

Multiplico pela largura \Delta x para obter M_4:
M_4=\Delta x\sum_{i=1}^{4} f(\bar{x}_i)=0,5\cdot 44=22.
Observação didática: o erro do ponto médio envolve a segunda derivada de f. A fórmula de erro (uma versão) é
E_M=-\frac{(b-a)^3}{24\,n^2}\,f''(\xi)
para algum \xi\in(a,b). Como aqui f(x)=8x+3 tem segunda derivada f''(x)=0, o erro é zero e a aproximação dá exatamente o valor da integral — por isso o resultado coincide com a integral exata.

Resposta

\;22\;

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