Use a Regra do Ponto Médio, com n=4, para aproximar a integral
\int_{0}^{8} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{8} x^{2}\,dx usando a Regra do Ponto Médio com n=4. Informações dadas e o que precisamos:
  • Integral a aproximar: \displaystyle \int_{0}^{8} x^{2}\,dx.
  • Método exigido: Regra do Ponto Médio.
  • Número de subintervalos: n=4.
  • Intervalo de integração: [0,8].

Passo 2

Explicação da Regra do Ponto Médio (fórmula) de forma didática: se dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais, a largura de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}.
Para cada subintervalo tomamos o ponto médio x_i^* e a aproximação pelo ponto médio é
M_n = h\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*).
Aqui h é a largura de cada pedaço e x_i^* é o ponto do centro do i-ésimo subintervalo; a soma multiplica o valor da função nesses pontos pelo comprimento de cada pedaço — é como somar a área de retângulos de base h e altura f(x_i^*).

Passo 3

Calcular h para o nosso caso: a=0, b=8, n=4. Então
h=\frac{8-0}{4}=2.

Passo 4

Determinar os pontos médios. A fórmula prática para o i-ésimo ponto médio é
x_i^* = a + \left(i-\tfrac{1}{2}\right)h,\quad i=1,2,\dots,n.
Calculando:
x_1^* = 0+\left(1-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2 = 1,
x_2^* = 0+\left(2-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2 = 3,
x_3^* = 0+\left(3-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2 = 5,
x_4^* = 0+\left(4-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2 = 7.
Ou seja, os pontos médios são 1,\,3,\,5,\,7. (Isso vem dos subintervalos [0,2], [2,4], [4,6], [6,8].)

Passo 5

Avaliar a função f(x)=x^2 nesses pontos e somar:
f(1)=1^2=1,
f(3)=3^2=9,
f(5)=5^2=25,
f(7)=7^2=49.
Somando: 1+9=10, 10+25=35, 35+49=84. Logo
\sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) = 84.

Passo 6

Aplicar a fórmula do Passo 2:
M_4 = h\sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) = 2\cdot 84 = 168.
Portanto a aproximação pelo ponto médio com n=4 é 168.

Passo 7

Comentário didático extra (para você entender o erro): a integral exata pode ser calculada diretamente, pois
\int_{0}^{8} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{8} = \frac{8^{3}}{3}=\frac{512}{3}\approx 170,666\ldots.
O erro da aproximação é
\frac{512}{3}-168=\frac{8}{3}\approx 2,666\ldots.
Então o método do ponto médio com n=4 deu 168, que fica cerca de 2,\!666\ldots abaixo do valor exato.

Resposta

168

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