Determine a integral definida:
\int_{1}^{16} \frac{x^{1 / 2}}{1+x^{3 / 4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{16} \frac{x^{1/2}}{1+x^{3/4}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{x^{1/2}}{1+x^{3/4}},\qquad \text{intervalo de integração: }x\in[1,16].çã
A missão é transformar essa integral em uma forma mais simples usando substituições e então calcular o valor numérico exato.

Passo 2

Primeira ideia: simplificar as potências fracionárias com uma substituição que torne os expoentes inteiros. Vamos definir
t = x^{1/4}.
Aqui t é a raiz quarta de x. Agora expresso x e dx em função de t:
x = t^{4},\qquad dx = 4t^{3}\,dt.
Também escrevo as partes do integrando em t:
x^{1/2} = (t^{4})^{1/2}=t^{2},\qquad x^{3/4}=(t^{4})^{3/4}=t^{3}.
Substituir dessa forma troca potências fracionárias por potências inteiras, o que facilita.

Passo 3

Transformo os limites de integração usando t=x^{1/4}:
x=1\Rightarrow t=1^{1/4}=1,\qquad x=16\Rightarrow t=16^{1/4}=2.
Portanto a integral em x vira uma integral em t com limites de 1 a 2. Substituindo tudo:
\int_{1}^{16}\frac{x^{1/2}}{1+x^{3/4}}\,dx = \int_{t=1}^{t=2}\frac{t^{2}}{1+t^{3}}\cdot 4t^{3}\,dt = \int_{1}^{2}\frac{4t^{5}}{1+t^{3}}\,dt.

Passo 4

Observação: dentro da integral em t aparece t^{5} e 1+t^{3}. Uma segunda substituição natural é
u = t^{3},
porque então 1+t^{3}=1+u e a presença de t^{5}\,dt = t^{3}\cdot t^{2}\,dt = u\cdot t^{2}\,dt permite usar du. Calculo o diferencial:
u=t^{3}\quad\Rightarrow\quad du = 3t^{2}\,dt\quad\Rightarrow\quad t^{2}\,dt=\frac{du}{3}.
Quando t=1 temos u=1^{3}=1 e quando t=2 temos u=2^{3}=8. Substituindo na integral:
\int_{1}^{2}\frac{4t^{5}}{1+t^{3}}\,dt = 4\int_{1}^{2}\frac{t^{3}\cdot t^{2}}{1+t^{3}}\,dt = 4\int_{1}^{2}\frac{u\cdot (t^{2}\,dt)}{1+u} = 4\int_{u=1}^{u=8}\frac{u}{1+u}\cdot\frac{du}{3}.
Logo
\int_{1}^{16}\frac{x^{1/2}}{1+x^{3/4}}\,dx = \frac{4}{3}\int_{1}^{8}\frac{u}{1+u}\,du.

Passo 5

Agora simplifico a função racional \dfrac{u}{1+u}. Faço a identidade algébrica
\frac{u}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u},
porque 1-\dfrac{1}{1+u}=\dfrac{1+u-1}{1+u}=\dfrac{u}{1+u}. Isso torna a integração trivial:
\frac{4}{3}\int_{1}^{8}\frac{u}{1+u}\,du = \frac{4}{3}\int_{1}^{8}\left(1-\frac{1}{1+u}\right)\,du.

Passo 6

Integro termo a termo. Lembro que
\int 1\,du = u,\qquad \int \frac{1}{1+u}\,du = \ln(1+u).
Aplicando nos limites de 1 a 8:
\frac{4}{3}\left[\int_{1}^{8}1\,du - \int_{1}^{8}\frac{1}{1+u}\,du\right] = \frac{4}{3}\left[(u)_{1}^{8} - \big(\ln(1+u)\big)_{1}^{8}\right].
Calculo cada parcela:
(u)_{1}^{8}=8-1=7,
\big(\ln(1+u)\big)_{1}^{8}=\ln(1+8)-\ln(1+1)=\ln 9 - \ln 2=\ln\!\left(\frac{9}{2}\right).
Portanto
\frac{4}{3}\left[7 - \ln\!\left(\frac{9}{2}\right)\right].

Passo 7

Posso deixar a resposta em forma expandida se desejar:
\frac{4}{3}\left(7 - \ln\!\left(\frac{9}{2}\right)\right) = \frac{28}{3} - \frac{4}{3}\ln\!\left(\frac{9}{2}\right).
Isso é o valor exato da integral.

Resposta

\frac{4}{3}\left(7 - \ln\!\left(\frac{9}{2}\right)\right)

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