Determine a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
A missão é transformar essa integral em uma forma mais simples usando substituições e então calcular o valor numérico exato.
Passo 2
Primeira ideia: simplificar as potências fracionárias com uma substituição que torne os expoentes inteiros. Vamos definir
Aqui
é a raiz quarta de
. Agora expresso
e
em função de
:
Também escrevo as partes do integrando em
:
Substituir dessa forma troca potências fracionárias por potências inteiras, o que facilita.
Passo 3
Transformo os limites de integração usando
:
Portanto a integral em
vira uma integral em
com limites de
a
. Substituindo tudo:
Passo 4
Observação: dentro da integral em
aparece
e
. Uma segunda substituição natural é
porque então
e a presença de
permite usar
. Calculo o diferencial:
Quando
temos
e quando
temos
. Substituindo na integral:
Logo
Passo 5
Agora simplifico a função racional
. Faço a identidade algébrica
porque
. Isso torna a integração trivial:
Passo 6
Integro termo a termo. Lembro que
Aplicando nos limites de
a
:
Calculo cada parcela:
Portanto
Passo 7
Posso deixar a resposta em forma expandida se desejar:
Isso é o valor exato da integral.