Calcule a integral indefinida:
\int \sin \left(\frac{\pi}{3} t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right)\,dt.
Informações dadas e o que se pede:
\text{Dado: } \sin\!\left(\frac{\pi}{3} t\right).
\text{Variável de integração: } t.áçã
\text{Queremos: uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja } F(t) \text{ tal que } F'(t)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3} t\right),çã
\text{e devemos acrescentar a constante de integração } C.çã

Passo 2

Escolha do método: como a função é uma seno com argumento linear em t (tem a forma \sin(a t) com a constante), o método mais direto é fazer uma substituição simples que torne o argumento apenas uma nova variável. Isso é a inversão da regra da cadeia: se \frac{d}{dt}\cos(at)=-a\sin(at), então \int \sin(at)\,dt deve resultar em -\frac{1}{a}\cos(at)+C. Vou mostrar isso passo a passo com substituição.

Passo 3

Faça a substituição
u = \frac{\pi}{3} t.
Calcule du. Como u depende linearmente de t,
du = \frac{\pi}{3}\,dt.
Isolando dt,
dt = \frac{3}{\pi}\,du.

Passo 4

Substitua na integral original. Temos
\int \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right)\,dt = \int \sin(u)\cdot \frac{3}{\pi}\,du.
Como \frac{3}{\pi} é constante, posso fatorar:
\int \sin(u)\cdot \frac{3}{\pi}\,du = \frac{3}{\pi}\int \sin(u)\,du.

Passo 5

Calcule \int \sin(u)\,du. Sabendo que a derivada de \cos(u) é -\sin(u), concluímos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C.
Portanto
\frac{3}{\pi}\int \sin(u)\,du = \frac{3}{\pi}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{3}{\pi}\cos(u)+C.

Passo 6

Volte para a variável t substituindo u=\frac{\pi}{3}t:
-\frac{3}{\pi}\cos(u)+C = -\frac{3}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{3} t\right)+C.
Podemos verificar rapidamente: derivando -\frac{3}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{3} t\right) em relação a t,
\frac{d}{dt}\left[-\frac{3}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{3} t\right)\right] = -\frac{3}{\pi}\cdot\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right)\bigr)\cdot\frac{\pi}{3} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right),
ou seja, dá exatamente o integrando, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{3}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3} t\right)+C

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