Calcule a integral: \int_{0}^{1} \frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}} d t
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{1}\frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}}\,dt.
Informações dadas relevantes:
\text{o integrando é }\frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}},\qquad \text{os limites são }t=0\text{ e }t=1.
A integral é uma integral definida de uma função contínua no intervalo [0,1], portanto o valor existe e é um número real.
Passo 2
Decidimos usar uma mudança de variável (substituição) para simplificar a raiz \sqrt{4+t^{2}}. A ideia é colocar em evidência uma nova variável que torne a raiz uma potência simples. Escolhemos a substituição
u=4+t^{2}.
Explico a técnica: em substituição u=\varphi(t) usamos a relação du=\varphi'(t)\,dt para trocar dt por du e reescrever toda a integral em termos de u. Aqui \varphi'(t)=2t, então a substituição vai eliminar um fator t do numerador e transformar a raiz em \sqrt{u}.
Passo 3
Calculemos du e expressões necessárias em termos de u: