Calcule a integral:
\int_{0}^{1} \frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{1}\frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}}\,dt.
Informações dadas relevantes:
\text{o integrando é }\frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}},\qquad \text{os limites são }t=0\text{ e }t=1.éã
A integral é uma integral definida de uma função contínua no intervalo [0,1], portanto o valor existe e é um número real.

Passo 2

Decidimos usar uma mudança de variável (substituição) para simplificar a raiz \sqrt{4+t^{2}}. A ideia é colocar em evidência uma nova variável que torne a raiz uma potência simples. Escolhemos a substituição
u=4+t^{2}.
Explico a técnica: em substituição u=\varphi(t) usamos a relação du=\varphi'(t)\,dt para trocar dt por du e reescrever toda a integral em termos de u. Aqui \varphi'(t)=2t, então a substituição vai eliminar um fator t do numerador e transformar a raiz em \sqrt{u}.

Passo 3

Calculemos du e expressões necessárias em termos de u:
du=2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{2}.
Além disso,
t^{2}=u-4.
Agora reescrevemos t^{3}\,dt como t^{2}\cdot t\,dt e substituímos:
t^{3}\,dt = t^{2}\cdot t\,dt = (u-4)\cdot\frac{du}{2} = \frac{u-4}{2}\,du.
Também transformamos a raiz: \sqrt{4+t^{2}}=\sqrt{u}.
Precisamos trocar os limites: quando t=0, u=4+0^{2}=4. Quando t=1, u=4+1^{2}=5.
Portanto a integral original vira
\int_{0}^{1}\frac{t^{3}}{\sqrt{4+t^{2}}}\,dt = \int_{u=4}^{5}\frac{\frac{u-4}{2}\,du}{\sqrt{u}}.

Passo 4

Simplificamos a expressão em u. Escrevendo explicitamente,
\int_{4}^{5}\frac{u-4}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\int_{4}^{5}\left(\frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{4}{\sqrt{u}}\right)\,du.
Como \frac{u}{\sqrt{u}}=u^{1/2} e \frac{1}{\sqrt{u}}=u^{-1/2}, temos
\frac{1}{2}\int_{4}^{5}\left(u^{1/2}-4u^{-1/2}\right)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra de potências: para u^{\alpha} com \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.
Aplicando aqui:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Logo
\frac{1}{2}\int_{4}^{5}\left(u^{1/2}-4u^{-1/2}\right)\,du = \frac{1}{2}\Bigg[\frac{2}{3}u^{3/2} - 4\cdot 2u^{1/2}\Bigg]_{4}^{5}.

Passo 6

Simplificamos os coeficientes dentro dos colchetes:
\frac{1}{2}\Bigg[\frac{2}{3}u^{3/2} - 8u^{1/2}\Bigg] = \frac{1}{3}u^{3/2} - 4u^{1/2}.
Agora avaliamos de u=4 até u=5:
\left(\frac{1}{3}u^{3/2} - 4u^{1/2}\right)\Bigg|_{4}^{5} = \left(\frac{1}{3}5^{3/2} - 4\cdot 5^{1/2}\right) - \left(\frac{1}{3}4^{3/2} - 4\cdot 4^{1/2}\right).

Passo 7

Compute cada termo separadamente. Observe que 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 5^{1/2}=\sqrt{5}; também 4^{3/2}=8 e 4^{1/2}=2. Então
\frac{1}{3}5^{3/2} - 4\cdot 5^{1/2} = \frac{1}{3}5\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = \sqrt{5}\left(\frac{5}{3}-4\right) = -\frac{7}{3}\sqrt{5},
e
\frac{1}{3}4^{3/2} - 4\cdot 4^{1/2} = \frac{1}{3}\cdot 8 - 4\cdot 2 = \frac{8}{3}-8 = -\frac{16}{3}.
Subtraindo:
-\frac{7}{3}\sqrt{5} -\left(-\frac{16}{3}\right) = -\frac{7}{3}\sqrt{5} + \frac{16}{3} = \frac{16 - 7\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16-7\sqrt{5}}{3}

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