(2,0) Seja R a região delimitada pela reta y=-3 x e a parábola y=4-x^{2}.
(a) Faça um esboço da região R.
(b) Calcule a área da região R.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: a reta y=-3x e a parábola y=4-x^{2}. Pede duas coisas:
(a) Fazer um esboço da região R delimitada por essas duas curvas.
(b) Calcular a área da região R.
Informações dadas que vamos usar: as equações das curvas são y=-3x e y=4-x^{2}. A região R é a parte do plano comum a ambas, limitada onde elas se cruzam (os pontos de interseção).

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção, resolvendo a equação que iguala as duas curvas:
-3x = 4 - x^{2}.
Rearranjando para formar um polinômio igual a zero:
x^{2} - 3x - 4 = 0.
Para resolver essa equação quadrática podemos tentar fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja -4 e cuja soma seja -3. Esses números são -4 e 1, portanto
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Assim as soluções são
x=4 \quad\text{ou}\quad x=-1.
Agora calculamos as respectivas ordenadas usando y=-3x (ou y=4-x^{2}, dá o mesmo em pontos de interseção):
\text{Para } x=-1: \quad y=-3(-1)=3.
\text{Para } x=4: \quad y=-3(4)=-12.
Portanto os pontos de interseção são (-1,3) e (4,-12).

Passo 3

Vamos entender como são as curvas para poder esboçar corretamente:
  • A parábola y=4-x^{2} é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^{2} é -1). O vértice está em x=0 com coordenada y=4, isto é, ponto (0,4). À medida que |x| cresce, y diminui.
  • A reta y=-3x passa pela origem (0,0) e tem inclinação -3, ou seja, desce rapidamente para a direita.
Para saber qual curva fica acima da outra entre x=-1 e x=4, avalio em um ponto interior, por exemplo x=0:
\text{Parábola: } y=4-0^{2}=4,\qquad \text{Reta: } y=-3\cdot 0=0.á
Como 4>0, a parábola está acima da reta no intervalo entre as interseções. Logo a região R é a faixa entre a parábola (em cima) e a reta (embaixo), para x variando de -1 até 4.
Como fazer o esboço (passo a passo que você pode reproduzir num papel):
  • Marque os pontos de interseção (-1,3) e (4,-12).
  • Desenhe a parábola com vértice em (0,4), abrindo para baixo, passando por (-1,3) e descendo à direita até passar por (4,-12).
  • Desenhe a reta passando pela origem com inclinação -3, passando também por (-1,3) e (4,-12).
  • Pinte a região entre as duas curvas, entre x=-1 e x=4: acima a parábola, abaixo a reta.
Isso resolve a parte (a): o esboço é a região limitada pelas curvas e pelos pontos (-1,3) e (4,-12), com a parábola acima da reta no intervalo.

Passo 4

Agora vamos calcular a área. Conceito-chave: a área entre duas curvas que para cada x num intervalo [a,b] tem uma função superior y_{\text{top}}(x) e uma inferior y_{\text{bot}}(x) é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui estabelecemos a=-1 e b=4. Determinamos que y_{\text{top}}(x)=4-x^{2} (a parábola) e y_{\text{bot}}(x)=-3x (a reta). Portanto o integrando é
(4-x^{2})-(-3x)=4-x^{2}+3x.
Assim a área é
\text{Área}=\int_{-1}^{4}\bigl(4 - x^{2} + 3x\bigr)\,dx.Á
Explicação curta da regra de integração usada: integramos função por função; a integral é linear, então \int (4 - x^{2} + 3x)\,dx = \int 4\,dx - \int x^{2}\,dx + \int 3x\,dx. Para potências usamos a regra do expoente: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).

Passo 5

Calculo explícito da primitiva (antiderivada) do integrando:
\int\bigl(4 - x^{2} + 3x\bigr)\,dx = \int 4\,dx - \int x^{2}\,dx + \int 3x\,dx.
Aplicando as regras:
\int 4\,dx = 4x,\qquad \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3},\qquad \int 3x\,dx = \dfrac{3x^{2}}{2}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=4x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{3x^{2}}{2}.

Passo 6

Agora avaliamos F(x) em x=4 e em x=-1 e subtraímos F(4)-F(-1).
Calcule F(4):
F(4)=4\cdot 4 - \dfrac{4^{3}}{3} + \dfrac{3\cdot 4^{2}}{2} =16 - \dfrac{64}{3} + \dfrac{3\cdot 16}{2}.
Calcule a última parcela:
\dfrac{3\cdot 16}{2}=\dfrac{48}{2}=24.
Então
F(4)=16 - \dfrac{64}{3} + 24 = (16+24) - \dfrac{64}{3} = 40 - \dfrac{64}{3}.
Colocando com denominador 3:
F(4)=\dfrac{120}{3} - \dfrac{64}{3} = \dfrac{56}{3}.
Calcule F(-1):
F(-1)=4(-1) - \dfrac{(-1)^{3}}{3} + \dfrac{3(-1)^{2}}{2} = -4 - \dfrac{-1}{3} + \dfrac{3\cdot 1}{2}.
Simplificando:
-4 - \left(-\dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{3}{2} = -4 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{2}.
Colocando tudo em denominador 6:
-4 = -\dfrac{24}{6},\quad \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6},\quad \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6},
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F(-1)= -\dfrac{24}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{9}{6} = -\dfrac{13}{6}.
Agora a área:
\text{Área}=F(4)-F(-1)=\dfrac{56}{3} - \left(-\dfrac{13}{6}\right) = \dfrac{56}{3} + \dfrac{13}{6}.Á
Colocando em denominador 6:
\dfrac{56}{3}=\dfrac{112}{6},\quad \dfrac{112}{6}+\dfrac{13}{6}=\dfrac{125}{6}.
Portanto a área da região R é \dfrac{125}{6} (unidades de área).

Passo 7

Resumo final e interpretação: a região é a faixa entre a parábola y=4-x^{2} (acima) e a reta y=-3x (abaixo), entre x=-1 e x=4. A área calculada por integração é \dfrac{125}{6}.
Força aí — você já entendeu o processo: achar interseções, identificar qual curva é superior, montar \int (y_{\text{top}}-y_{\text{bot}})\,dx e integrar. Dá pra reproduzir rápido na prova se decorar esses passos!

Resposta

(a) Esboço: região limitada pelas curvas y=4-x^{2} (acima) e y=-3x (abaixo), com pontos de interseção (-1,3) e (4,-12).
(b) \dfrac{125}{6}

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