Seja
a região delimitada pela reta
e a parábola
.
(a) Faça um esboço da região
.
(b) Calcule a área da região
.
(a) Faça um esboço da região
(b) Calcule a área da região
Passo 1
O enunciado dá duas curvas: a reta
e a parábola
. Pede duas coisas:
(a) Fazer um esboço da região
delimitada por essas duas curvas.
(b) Calcular a área da região .
(b) Calcular a área da região
Informações dadas que vamos usar: as equações das curvas são
e
. A região
é a parte do plano comum a ambas, limitada onde elas se cruzam (os pontos de interseção).
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção, resolvendo a equação que iguala as duas curvas:
Rearranjando para formar um polinômio igual a zero:
Para resolver essa equação quadrática podemos tentar fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, portanto
Assim as soluções são
Agora calculamos as respectivas ordenadas usando
(ou
, dá o mesmo em pontos de interseção):
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Vamos entender como são as curvas para poder esboçar corretamente:
-
A parábola
é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de é ). O vértice está em com coordenada , isto é, ponto . À medida que cresce, diminui. -
A reta
passa pela origem e tem inclinação , ou seja, desce rapidamente para a direita.
Para saber qual curva fica acima da outra entre
e
, avalio em um ponto interior, por exemplo
:
Como
, a parábola está acima da reta no intervalo entre as interseções. Logo a região
é a faixa entre a parábola (em cima) e a reta (embaixo), para
variando de
até
.
Como fazer o esboço (passo a passo que você pode reproduzir num papel):
- Marque os pontos de interseção
e . - Desenhe a parábola com vértice em
, abrindo para baixo, passando por e descendo à direita até passar por . - Desenhe a reta passando pela origem com inclinação
, passando também por e . - Pinte a região entre as duas curvas, entre
e : acima a parábola, abaixo a reta.
Isso resolve a parte (a): o esboço é a região limitada pelas curvas e pelos pontos
e
, com a parábola acima da reta no intervalo.
Passo 4
Agora vamos calcular a área. Conceito-chave: a área entre duas curvas que para cada
num intervalo
tem uma função superior
e uma inferior
é dada por
Aqui estabelecemos
e
. Determinamos que
(a parábola) e
(a reta). Portanto o integrando é
Assim a área é
Explicação curta da regra de integração usada: integramos função por função; a integral é linear, então
. Para potências usamos a regra do expoente:
(para
).
Passo 5
Calculo explícito da primitiva (antiderivada) do integrando:
Aplicando as regras:
Portanto uma primitiva é
Passo 6
Agora avaliamos
em
e em
e subtraímos
.
Calcule
:
Calcule a última parcela:
Então
Colocando com denominador
:
Calcule
:
Simplificando:
Colocando tudo em denominador
:
logo
Agora a área:
Colocando em denominador
:
Portanto a área da região
é
(unidades de área).
Passo 7
Resumo final e interpretação: a região é a faixa entre a parábola
(acima) e a reta
(abaixo), entre
e
. A área calculada por integração é
.
Força aí — você já entendeu o processo: achar interseções, identificar qual curva é superior, montar
e integrar. Dá pra reproduzir rápido na prova se decorar esses passos!
Resposta
(a) Esboço: região limitada pelas curvas
(acima) e
(abaixo), com pontos de interseção
e
.
(b)
(b)