Calcule o limite usando l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
portanto o numerador
e o denominador
. Logo a expressão tem forma do tipo
. A partir daqui a resolução começa.
Passo 2
Apresentando o Teorema de l’Hôpital (versão usada): se duas funções
e
são diferenciáveis em um intervalo à direita (ou à esquerda) de um ponto, exceto possivelmente no ponto, e se
ou ambas são
(casos
ou
), e se existe o limite
então
Aqui
e
são as derivadas de
e
. Em palavras: podemos substituir a razão das funções pela razão das derivadas quando a forma é indeterminada e as hipóteses valem. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Verificação das hipóteses para nosso caso: tome
Como observado em Passo 1,
e
quando
. As funções são diferenciáveis para
(não precisamos que sejam diferenciáveis em
, apenas em um entorno onde aplicamos o limite). Assim temos a forma
e podemos aplicar l’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
com respeito a
, mostrando os passos e a regra da cadeia quando necessário.
Derivada de
:
Expliquei: usei a regra do poder
com
.
Derivada de
:
Primeiro observe que a constante some na derivada. Para
usamos a regra da cadeia: derivada de
é
, com
. Temos
. Portanto
Primeiro observe que a constante
Passo 5
Formar a razão das derivadas e simplificar:
Agora simplificamos: os sinais negativos se cancelam e o fator
tanto no numerador quanto no denominador cancela, sobrando
Passo 6
Aplicar o limite da razão das derivadas. Pelo teorema de l’Hôpital:
Agora avaliamos
. Como
quando
, tem-se
. Portanto
Conclusão: o limite pedido vale
.