Calcule o limite usando l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / x}{e^{1 / x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1/x}{e^{1/x}-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{quando }x\to 0^{+}\text{ temos } \frac{1}{x}\to +\infty,
portanto o numerador \frac{1}{x}\to +\infty e o denominador e^{1/x}-1\to +\infty. Logo a expressão tem forma do tipo \infty/\infty. A partir daqui a resolução começa.

Passo 2

Apresentando o Teorema de l’Hôpital (versão usada): se duas funções f(x) e g(x) são diferenciáveis em um intervalo à direita (ou à esquerda) de um ponto, exceto possivelmente no ponto, e se
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty
ou ambas são 0 (casos \infty/\infty ou 0/0), e se existe o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g. Em palavras: podemos substituir a razão das funções pela razão das derivadas quando a forma é indeterminada e as hipóteses valem. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Verificação das hipóteses para nosso caso: tome
f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=e^{1/x}-1.
Como observado em Passo 1, f(x)\to+\infty e g(x)\to+\infty quando x\to0^{+}. As funções são diferenciáveis para x>0 (não precisamos que sejam diferenciáveis em 0, apenas em um entorno onde aplicamos o limite). Assim temos a forma \infty/\infty e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas de f e g com respeito a x, mostrando os passos e a regra da cadeia quando necessário.
Derivada de f(x)=x^{-1}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Expliquei: usei a regra do poder \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} com n=-1.
Derivada de g(x)=e^{1/x}-1:
Primeiro observe que a constante -1 some na derivada. Para e^{1/x} usamos a regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u', com u(x)=1/x. Temos u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{-1})=-\frac{1}{x^{2}}. Portanto
g'(x)=e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.

Passo 5

Formar a razão das derivadas e simplificar:
\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{-\dfrac{1}{x^{2}}}{-\dfrac{e^{1/x}}{x^{2}}}.
Agora simplificamos: os sinais negativos se cancelam e o fator \dfrac{1}{x^{2}} tanto no numerador quanto no denominador cancela, sobrando
\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{1}{e^{1/x}}.

Passo 6

Aplicar o limite da razão das derivadas. Pelo teorema de l’Hôpital:
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1/x}{e^{1/x}-1} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{e^{1/x}}.
Agora avaliamos \lim_{x\to 0^{+}} e^{1/x}. Como 1/x\to +\infty quando x\to 0^{+}, tem-se e^{1/x}\to +\infty. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{e^{1/x}} = 0.
Conclusão: o limite pedido vale 0.

Resposta

0

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