Calcule a integral indefinida.
\int x^{2} \operatorname{sec} ^{2}\left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é técnica de substituição (u-subst).

Passo 2

Como a parte interna de \operatorname{sec}^{2} é x^{3}, fazemos
u = x^{3} \quad\Rightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo em
\displaystyle \int x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
recebemos
\int x^{2}\operatorname{sec}^{2}(x^{3})\,dx =\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 4

Sabendo que
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u),
temos
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C.
Portanto
\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du =\frac{1}{3}\tan(u)+C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=x^{3}, concluímos
\frac{1}{3}\tan\bigl(x^{3}\bigr)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\tan\bigl(x^{3}\bigr)+C

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