Calcule a integral indefinida.
\int x\left(2-x^{2}\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx
e vamos usar o método de substituição, pois vemos x\,dx junto de uma função de x^{2}.

Passo 2

Tomemos
u = 2 - x^{2}.
Dessa forma
du = -2x\,dx
e portanto
x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx = \int u^{3}\bigl(x\,dx\bigr) = \int u^{3}\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\tfrac12 \int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\tfrac12 \int u^{3}\,du = -\tfrac12 \cdot \frac{u^{4}}{4} + C = -\frac{u^{4}}{8} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2 - x^{2} e obtemos
-\frac{(2 - x^{2})^{4}}{8} + C.

Resposta

-\displaystyle \frac{(2 - x^{2})^{4}}{8} + C

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