Calcule a integral indefinida.
\int x \sqrt{x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x\sqrt{x-3}\,dx
Este é um problema de cálculo de integrais envolvendo raiz. Vamos usar a técnica de substituição para simplificar a raiz e depois aplicar a regra de potência.

Passo 2

Tomamos a substituição
u = x - 3,
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x = u + 3 \quad\text{e}\quad dx = du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x\sqrt{x-3}\,dx =\int (u+3)\,\sqrt{u}\,du =\int \bigl(u\cdot u^{1/2} + 3u^{1/2}\bigr)\,du =\int \bigl(u^{3/2} + 3u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando a regra de potência \int u^{n}du = \tfrac{u^{n+1}}{n+1}+C:
\int u^{3/2}du = \frac{u^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}u^{5/2},
\int 3u^{1/2}du = 3\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = 3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = 2u^{3/2}.
Somando,
\int \bigl(u^{3/2} + 3u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{5}u^{5/2} + 2u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x - 3, o resultado é
\frac{2}{5}(x-3)^{5/2} \;+\; 2(x-3)^{3/2} \;+\; C.

Resposta

\int x\sqrt{x-3}\,dx = \frac{2}{5}(x-3)^{5/2} + 2(x-3)^{3/2} + C.

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