Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite (usando a Regra de L’Hôspital):
Informações dadas: a variável
tende para
e a função é a razão
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Breve explicação da Regra de L’Hôspital (quem é e quando posso usar).
A Regra de L’Hôspital diz o seguinte: se temos duas funções diferenciáveis e
em um intervalo para valores grandes de
(por exemplo
suficientemente grande), e se ao calcular
e
obtemos uma forma indeterminada do tipo
ou
, então, sob condições técnicas (especialmente
perto do ponto e existência do limite de
), vale:
A Regra de L’Hôspital diz o seguinte: se temos duas funções diferenciáveis
Aqui eu expliquei cada símbolo:
e
são as derivadas de
e
;
pode ser um número finito ou
. Importante: a regra só pode ser aplicada se a forma inicial for indeterminada (
ou
).
Passo 3
Verificação da forma inicial e estratégia. Se eu olhar diretamente para
quando
, tenho numerador
e denominador
. Isso não é uma forma indeterminada: é uma forma do tipo
, que já nos sugere limite
. Portanto a Regra de L’Hôspital NÃO pode ser aplicada diretamente nessa expressão porque não temos
nem
.
Como o enunciado pede explicitamente usar L’Hôspital, vou reescrever a mesma quantidade como uma razão que gera uma forma
, mas que é algebraicamente idêntica à original. Uma escolha simples é multiplicar numerador e denominador por
(válido para
; como estamos indo a
, isso é aceitável). Assim:
Agora analiso os limites das partes:
e
quando
. Portanto a nova razão tem a forma indeterminada
e podemos aplicar L’Hôspital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôspital à razão
. Vou derivar numerador e denominador separadamente e escrever tudo passo a passo.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador
: uso a regra do produto
. Aqui
e
, então
Pela Regra de L’Hôspital,
Passo 5
Simplifico a expressão obtida após aplicar L’Hôspital:
Agora avalio o limite quando
. Note que
e
, logo o produto
. Assim a fração
tende a
, porque o denominador cresce sem limite enquanto o numerador é constante igual a
.
Formalmente:
Passo 6
Concluo que, como a substituição
foi uma identidade válida para
e apliquei corretamente a Regra de L’Hôspital à razão equivalente, o limite original é o mesmo. Portanto: