Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite (usando a Regra de L’Hôspital):
\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}.
Informações dadas: a variável x tende para +\infty e a função é a razão \frac{1}{x}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Breve explicação da Regra de L’Hôspital (quem é e quando posso usar).
A Regra de L’Hôspital diz o seguinte: se temos duas funções diferenciáveis f e g em um intervalo para valores grandes de x (por exemplo x suficientemente grande), e se ao calcular \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) obtemos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, então, sob condições técnicas (especialmente g'(x)\neq 0 perto do ponto e existência do limite de \frac{f'(x)}{g'(x)}), vale:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui eu expliquei cada símbolo: f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g; a pode ser um número finito ou +\infty. Importante: a regra só pode ser aplicada se a forma inicial for indeterminada ( 0/0 ou \infty/\infty).

Passo 3

Verificação da forma inicial e estratégia. Se eu olhar diretamente para \frac{1}{x} quando x\to+\infty, tenho numerador \to 1 e denominador \to+\infty. Isso não é uma forma indeterminada: é uma forma do tipo \frac{1}{\infty}, que já nos sugere limite 0. Portanto a Regra de L’Hôspital NÃO pode ser aplicada diretamente nessa expressão porque não temos 0/0 nem \infty/\infty.
Como o enunciado pede explicitamente usar L’Hôspital, vou reescrever a mesma quantidade como uma razão que gera uma forma \infty/\infty, mas que é algebraicamente idêntica à original. Uma escolha simples é multiplicar numerador e denominador por \ln x (válido para x>1; como estamos indo a +\infty, isso é aceitável). Assim:
\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x\ln x}.
Agora analiso os limites das partes: \ln x \to +\infty e x\ln x \to +\infty quando x\to +\infty. Portanto a nova razão tem a forma indeterminada \frac{\infty}{\infty} e podemos aplicar L’Hôspital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôspital à razão \frac{\ln x}{x\ln x}. Vou derivar numerador e denominador separadamente e escrever tudo passo a passo.
Derivada do numerador:
(\ln x)'=\frac{1}{x}.
Derivada do denominador x\ln x: uso a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Aqui u=x e v=\ln x, então
(x\ln x)' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
Pela Regra de L’Hôspital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x\ln x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)'}{(x\ln x)'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x + 1}.

Passo 5

Simplifico a expressão obtida após aplicar L’Hôspital:
\frac{\frac{1}{x}}{\ln x + 1}=\frac{1}{x(\ln x + 1)}.
Agora avalio o limite quando x\to+\infty. Note que x\to+\infty e \ln x + 1 \to +\infty, logo o produto x(\ln x + 1)\to+\infty. Assim a fração \frac{1}{x(\ln x + 1)} tende a 0, porque o denominador cresce sem limite enquanto o numerador é constante igual a 1.
Formalmente:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x(\ln x + 1)}=0.

Passo 6

Concluo que, como a substituição \frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x\ln x} foi uma identidade válida para x>1 e apliquei corretamente a Regra de L’Hôspital à razão equivalente, o limite original é o mesmo. Portanto:
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.

Resposta

0

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