A função derivada
não é contínua no ponto 0 . Justifique este fato mostrando que não existe o limite
Para justificar:
- Mostre que, se
estiver próximo de 0 , a função
pode se aproximar tanto de 1 quanto de 0.
Sugestöes:
Use as sequências:
para valores de
, observando que e»
sequências estão próximas de zero.
Passo 1
Neste exercício a gente quer mostrar que a derivada g(x)=f′(x), que envolve o termo cos(1/x), não é contínua em 0 porque o limite
não existe. Para ver isso, lembramos que, se fosse contínuo, a expressão
teria que se aproximar de um único valor conforme
. Vamos então construir duas sequências
pelas quais
dá resultados diferentes.
Passo 2
Considere a primeira sequência
Logo
Portanto, ao longo de
,
quando
, ou seja, quando
.
Passo 3
Agora considere a segunda sequência
Temos
Assim, ao longo de
,
quando
.
Como as duas sequências e
tendem a 0, mas produzem limites distintos (1 e 0), concluímos que
não existe, e portanto g(x) não é contínua em 0.
Como as duas sequências
Resposta
O limite
não existe porque, por uma sequência aproxima-se de 1 e por outra aproxima-se de 0, logo g(x)=f′(x) não é contínua em 0.