A função derivada g(x)=f^prime(x) não é contínua no ponto 0 . Justifique este fato mostrando que não existe o limite
lim x 0 cos (1x)
Para justificar:
  • Mostre que, se x estiver próximo de 0 , a função cos (1x) pode se aproximar tanto de 1 quanto de 0.

Sugestöes:

Use as sequências:
xn=12 n pi e xn=1pi2+2 n pi
para valores de n +infty, observando que e» downarrow sequências estão próximas de zero.

Passo 1

Neste exercício a gente quer mostrar que a derivada g(x)=f′(x), que envolve o termo cos(1/x), não é contínua em 0 porque o limite limxto0cos(1/x) não existe. Para ver isso, lembramos que, se fosse contínuo, a expressão cos(1/x) teria que se aproximar de um único valor conforme xto0. Vamos então construir duas sequências xnto0 pelas quais cos(1/x) dá resultados diferentes.

Passo 2

Considere a primeira sequência
xn = 12npi,
Logo
1xn = 2npi Longrightarrow cosl(tfrac1xnr)=cos(2npi)=1
Portanto, ao longo de xn, cos(1/xn)to1 quando nto+infty, ou seja, quando xnto0.

Passo 3

Agora considere a segunda sequência
yn = 1tfracpi2 + 2npi,
Temos
1yn = pi2 + 2npi Longrightarrow cosl(tfrac1ynr)=cosl(tfracpi2+2npir)=0
Assim, ao longo de yn, cos(1/yn)to0 quando nto+infty.
Como as duas sequências xn e yn tendem a 0, mas produzem limites distintos (1 e 0), concluímos que limxto0cos(1/x) não existe, e portanto g(x) não é contínua em 0.

Resposta

O limite limxto0cos(1/x) não existe porque, por uma sequência aproxima-se de 1 e por outra aproxima-se de 0, logo g(x)=f′(x) não é contínua em 0.

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