Calcule a integral indefinida.
integral e^arcen xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Estamos diante da integral indefinida integral e^arcsin xraiz1-x^2,dx. O assunto aqui é técnica de substituição de variável, já que a derivada de arcsin x gera exatamente o fator 1/raiz1-x^2.

Passo 2

Para explorar isso, fazemos a mudança de variável
t = arcsin x
Assim, x = sin t e precisamos encontrar dx em função de dt.

Passo 3

Derivando x=sin t em relação a t, temos
dxdt = cos t
ou seja,
dx = cos t,dt
Note também que raiz1-x^2 = raiz1-sin^2 t = cos t (considerando o intervalo principal onde cos t>=0).

Passo 4

Substituindo na integral original,
integral e^arcsin xraiz1-x^2,dx = integral e^tcos t cdot (cos t,dt) = integral e^t,dt
Viu como o fator cos t cancela?

Passo 5

Agora é moleza: a integral de e^t em relação a t é
integral e^t,dt = e^t + C
Então terminamos a integração em função de t.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original usando t=arcsin x. A antiderivada fica
e^t + C = e^arcsin x + C

Resposta

e^{\arcsin x} + C

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