Calcule a integral indefinida.
integral cos (x) ln (sin x) d x

Passo 1

Então, a gente tem para resolver a integral indefinida integral cos (x) ln (sin x) , dx. Vamos trabalhar com funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica de integração onde a gente troca partes da integral por uma nova variável para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = sin(x). Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x, que é du = cos(x) , dx.

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral original integral cos(x) ln(sin x) , dx vira integral ln(u) , du. Isso porque cos(x) , dx = du e ln(sin x) = ln(u).

Passo 4

Agora, vamos integrar integral ln(u) , du. A antiderivada de ln(u) é u ln(u) - u. Então, temos:
integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos voltar para a variável original x. Substituímos u por sin(x) na expressão que encontramos:
u ln(u) - u + C = sin(x) ln(sin(x)) - sin(x) + C

Resposta

A integral indefinida é sin(x) ln(sin(x)) - sin(x) + C.

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