Como feito em sala, usando o método de varíaveis separaveis, encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira (Dica: para encontrar os coeficientes de Fourier, use exercício 9 e 10)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor
u_{t}=α^{2}u_{xx}, 0<x<L, t>0 com condições de contorno u(0,t)=0, u_{x}(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier (exercícios 9 e 10 para os coeficientes).
Passo 2
Assumimos u(x,t)=X(x)·T(t). Substituindo em u_{t}=α^{2}u_{xx} temos
X(x)·T’(t)=α^{2}X’’(x)·T(t).
Dividindo por α^{2}X·T:
onde λ é constante de separação.
Passo 3
Para X(x) temos o problema de Sturm–Liouville
X’’+λX=0,
X(0)=0,
X’(L)=0.
X(0)=0,
X’(L)=0.
A condição X(0)=0 implica X(x)=A\sin(\mu x). Em X’(L)=0 temos
com A≠0, logo cos(\mu L)=0 ⇒ μ_{n}=(2n-1)π/(2L) e λ_{n}=μ_{n}^{2}.
Passo 4
A equação em t fica
T’(t)+α^{2}λ_{n}T(t)=0,
cuja solução é
Passo 5
A solução geral se escreve como série
Passo 6
Para ajustar a condição inicial u(x,0)=f(x), igualamos
Usando ortogonalidade de \sin(μ_{n}x) no intervalo [0,L], os coeficientes são
onde μ_{n}=(2n-1)π/(2L).
Passo 7
Pronto! Reunindo tudo, temos a solução completa usando variáveis separáveis e séries de Fourier.