Como feito em sala, usando o método de varíaveis separaveis, encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira (Dica: para encontrar os coeficientes de Fourier, use exercício 9 e 10)
l ut=alpha^2 ux x, 00 u(0, t)=0, ux(L, t)=0 t>0 u(x, 0)=f(x), 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
u_{t}=α^{2}u_{xx}, 0<x<L, t>0 com condições de contorno u(0,t)=0, u_{x}(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier (exercícios 9 e 10 para os coeficientes).

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x)·T(t). Substituindo em u_{t}=α^{2}u_{xx} temos
X(x)·T’(t)=α^{2}X’’(x)·T(t).
Dividindo por α^{2}X·T:
T'(t)α^2T(t)=X''(x)X(x)=-λ,
onde λ é constante de separação.

Passo 3

Para X(x) temos o problema de Sturm–Liouville
X’’+λX=0,
X(0)=0,
X’(L)=0.
A condição X(0)=0 implica X(x)=A\sin(\mu x). Em X’(L)=0 temos
mu Acos(mu L)=0
com A≠0, logo cos(\mu L)=0 ⇒ μ_{n}=(2n-1)π/(2L) e λ_{n}=μ_{n}^{2}.

Passo 4

A equação em t fica
T’(t)+α^{2}λ_{n}T(t)=0,
cuja solução é
Tn(t)=Cnexp(-α^2μn^2t)

Passo 5

A solução geral se escreve como série
u(x,t)=sumn=1^∞Bnexpl(-α^2μn^2tr)sin(μnx)

Passo 6

Para ajustar a condição inicial u(x,0)=f(x), igualamos
f(x)=sumn=1^∞Bnsin(μnx)
Usando ortogonalidade de \sin(μ_{n}x) no intervalo [0,L], os coeficientes são
Bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(μnxr),dx,
onde μ_{n}=(2n-1)π/(2L).

Passo 7

Pronto! Reunindo tudo, temos a solução completa usando variáveis separáveis e séries de Fourier.

Resposta

u(x,t)=sumn=1^inftygl(2Lintegral0^Lf(ξ),sinl(tfrac(2n-1)pi2Lξr),dξgr)expl(-α^2l(tfrac(2n-1)pi2Lr)^2tr),sinl(tfrac(2n-1)pi2Lxr)

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