Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida (par ou ímpar), periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
f(x)=crL+x, & -L <= x<0 L-x, & 0 <= x

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes em [−L,L) e pede a extensão periódica (período 2L), depois a série de Fourier dessa extensão (item a) e, em b, obter alguma série convergente a partir dela.

Passo 2

Como a função satisfaz f(−x)=f(x) (verifique que para x∈(0,L), f(−x)=L−x=f(x)), concluímos que é uma função par e, numa expansão de período 2L, só haverá termos de cosseno. Vamos usar a forma padrão:
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(npi xLr)

Passo 3

Precisamos calcular o termo médio:
a0=2Lintegral0^L f(x),dx
Como em [0,L) f(x)=L−x, temos
integral0^L(L−x)dx=l[Lx-x^22r]0^L=L^22,
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a0=2LcdotL^22=L

Passo 4

Agora os coeficientes de cosseno:
an=2Lintegral0^L(L-x)cosl(npi xLr)dx
Separe em duas integrais e use integrações por partes. Definindo k=\tfrac{n\pi}{L}, chega-se a
an=21-(-1)^nL k^2=21-(-1)^nL,(npi/L)^2=2(1-(-1)^n)Ln^2pi^2

Passo 5

Observe que se n é par, 1−(−1)^n=0, e se n é ímpar, 1−(−1)^n=2. Então
an=0,&n par,[6pt] 4Ln^2pi^2,&n ímpar í
Portanto a série de Fourier (item a) é:
f(x)=L2+summ=0^infty4L(2m+1)^2pi^2,cosl((2m+1)pi xLr)

Passo 6

Para o item b, podemos avaliar essa série num ponto simples, por exemplo x=0, onde f(0)=L. Daí
L=L2+summ=0^infty4L(2m+1)^2pi^2,
o que leva a
$$\sum_{m=0}{\infty}\frac{1}{(2m+1)2}=\frac{\pi^2}{8}.
$$
Esta é uma série numérica convergente extraída da expansão.

Passo 7

Como alternativa, poderíamos avaliar em x=L e obter a mesma soma. Mas o importante é que temos uma série convergente de termos 1/(2m+1)^2.

Resposta

(a) f(x)=L2+summ=0^infty4L(2m+1)^2pi^2cosl((2m+1)pi xLr)
(b) Por exemplo, avaliando em x=0 obtemos
summ=0^infty1(2m+1)^2=pi^28

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