Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida (par ou ímpar), periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes em [−L,L) e pede a extensão periódica (período 2L), depois a série de Fourier dessa extensão (item a) e, em b, obter alguma série convergente a partir dela.
Passo 2
Como a função satisfaz f(−x)=f(x) (verifique que para x∈(0,L), f(−x)=L−x=f(x)), concluímos que é uma função par e, numa expansão de período 2L, só haverá termos de cosseno. Vamos usar a forma padrão:
Passo 3
Precisamos calcular o termo médio:
Como em [0,L) f(x)=L−x, temos
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Passo 4
Agora os coeficientes de cosseno:
Separe em duas integrais e use integrações por partes. Definindo k=\tfrac{n\pi}{L}, chega-se a
Passo 5
Observe que se n é par, 1−(−1)^n=0, e se n é ímpar, 1−(−1)^n=2. Então