Calcule a integral indefinida integral f(t) d t das seguintes funções:
a) f(t)=2 a t+2 t^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
f(t)=2a,t + 2,t^3/2,
isto é, calcular
integral f(t),dt = integrall(2a,t + 2,t^3/2r),dt
Vamos usar a regra de potência
integral t^n,dt = t^n+1n+1 + C,
e a linearidade da integral.

Passo 2

Separemos a integral em duas parcelas:
integrall(2a,t + 2,t^3/2r),dt = integral 2a,t,dt ;+; integral 2,t^3/2,dt

Passo 3

Calculemos a primeira parcela usando constante fora da integral:
integral 2a,t,dt = 2a integral t,dt = 2a cdot t^22 = a,t^2

Passo 4

Agora a segunda parcela:
integral 2,t^3/2,dt = 2 integral t^3/2,dt = 2 cdot t^(3/2)+1tfrac32+1 = 2 cdot t^5/2tfrac52 = 2 cdot 25,t^5/2 = 45,t^5/2

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C:
integral f(t),dt = a,t^2 + 45,t^5/2 + C

Resposta

integrall(2a,t + 2,t^3/2r)dt = a,t^2 + 45,t^5/2 + C

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