Calcule a integral indefinida.
integral sec ^3 x tan x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em Integrais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição apropriada. Olhando para a integral, vemos a presença de u = sec x e . Sabemos que a derivada de é , então podemos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = sec x tan x , dx em relação a para encontrar :

Passo 4

Observando a nossa integral original:
integral sec^3 x tan x , dx
Podemos reescrever integral sec^2 x cdot sec x tan x , dx como integral sec^2 x cdot du , assim:
Agora, substituímos por :

Passo 5

Sabemos que sec^2 x = u^2 pode ser escrito em termos de integral u^2 , du , já que :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^2 , du = u^33 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u^33 + C = sec^3 x3 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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