Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
(d) as derivadas parciais
não são contínuas em
.
(d) as derivadas parciais
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as derivadas mistas
e
não são contínuas em
. Isso faz parte da teoria de condições de troca de ordem de diferenciação e continuidade de derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Já sabemos que em
as segundas derivadas mistas valem:
Passo 3
Agora vamos obter fórmulas fechadas para
e
quando
. Para isso diferenciamos primeiro
em relação a
.
Após cálculo direto (usando quocientes e regras do produto) chega-se a:
Após cálculo direto (usando quocientes e regras do produto) chega-se a:
e, de forma similar,
Passo 4
Para testar continuidade de
em
, considere o caminho
. Então
Como
e
, a derivada mista
não é contínua em
.
Passo 5
Para
, no mesmo caminho
temos
logo
. Portanto
também não é contínua em
.
Resposta
As derivadas mistas não são contínuas em
porque os limites ao longo de caminhos como
dão valores diferentes dos valores em
.