Exemplo de função em que partial^2 fpartial x partial y neq partial^2 fpartial y partial x : Considere a função
f(x, y)=l x y x^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Prove que:
(d) as derivadas parciais partial^2 fpartial x partial y, partial^2 fpartial y partial x não são contínuas em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as derivadas mistas fxy e fyx não são contínuas em (0,0). Isso faz parte da teoria de condições de troca de ordem de diferenciação e continuidade de derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Já sabemos que em (0,0) as segundas derivadas mistas valem:
  • fxy(0,0)=1
  • fyx(0,0)=-1

Passo 3

Agora vamos obter fórmulas fechadas para fxy(x,y) e fyx(x,y) quando (x,y)neq(0,0). Para isso diferenciamos primeiro fx em relação a y.
Após cálculo direto (usando quocientes e regras do produto) chega-se a:
fxy(x,y)=x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6(x^2+y^2)^3,
e, de forma similar,
fyx(x,y)=-x^6-9x^4y^2-9x^2y^4+y^6(x^2+y^2)^3

Passo 4

Para testar continuidade de fxy em (0,0), considere o caminho y=x. Então
fxy(x,x)=x^6+9x^6-9x^6-x^6(2x^2)^3=08x^6=0
Como limxto0fxy(x,x)=0 e fxy(0,0)=1, a derivada mista fxy não é contínua em (0,0).

Passo 5

Para fyx, no mesmo caminho y=x temos
fyx(x,x)=-x^6-9x^6-9x^6+x^6(2x^2)^3=--16x^68x^6=2,
logo limxto0fyx(x,x)=2neq fyx(0,0)=-1. Portanto fyx também não é contínua em (0,0).

Resposta

As derivadas mistas não são contínuas em (0,0) porque os limites ao longo de caminhos como y=x dão valores diferentes dos valores em (0,0).

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